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1、4.7 正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外) 才能求解,常见类型及其解法如表所示.,基础知识 自主学习,4.7 正弦定理、余弦定理应用举例 已知条件应用定理,两边和夹角余弦定理由余弦定理求第三边c;三边余弦定理 由余弦,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角, 目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,上方,下方,2.用正弦定理和
2、余弦定理解三角形的常见题型上方下方,(2)方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).(3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,正北,基础自测1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC 等于( ) A.10 B.50 C.120 D.130 解析 由已知BAD=60,CAD=70, BAC=60+70=130.,D,基础自测D,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏 东60,则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西
3、10 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示, 由已知得ACB=80, CAB=CBA=50, 则=60-50=10.,B,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔B,3.在ABC中,AB=3,BC= ,AC=4,则边AC 上的高为( ) A. B. C. D. 解析 由余弦定理可得:,B,3.在ABC中,AB=3,BC= ,AC=4,则边AC,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积 则a的值为( ) A.20 B.25 C.55 D.49 解析 由S= bcsin A=220 ,得c=55. 由余弦定理得 a2=162+552-21655cos 60=2 401, a=49.,
4、D,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积D,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B=2A, 则 的值等于 ,AC的取值范围为 . 解析,2,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B,题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离. 分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求解.,题型分类 深度剖析,题型分类 深度剖析,解 如图所示在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,AC=CD= km.在BCD中,BCD=45
5、,BDC=75,CBD=60.在ABC中,由余弦定理,得,B,解 如图所示在ACD中,B,求距离问题要注意:(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,求距离问题要注意:,知能迁移1(2009海南,宁夏理, 17)为了测量两山顶M、N间的 距离,飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面 内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离,请设计一个方案,包括:指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中
6、标 出);用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.,知能迁移1(2009海南,宁夏理,,解 方案一:需要测量的数据有:A点到M、N点的俯角1、1;B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d(如图所示).第一步:计算AM.由正弦定理第二步:计算AN.由正弦定理第三步:计算MN.由余弦定理,解 方案一:需要测量的数据有:A点到M、N,方案二:需要测量的数据有:A点到M、N点的俯角1、1;B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d(如图所示).第一步:计算BM.由正弦定理第二步:计算BN.由正弦定理第三步:计算MN.由余弦定理,方案二:需要测量的数据有:A点到M、N点的,题型二 与高度有关的问题
7、 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向 前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得 塔顶的最大仰角为30,求塔高. 依题意画图,某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进,CD= 40米,此时DBF=45,从C到D 沿途测塔的仰角,只有B到测试点 的距离最短时,仰角才最大,这是因为tanAEB = AB为定值,BE最小时,仰角最大.要求出 塔高AB,必须先求BE,而要求BE,需先求BD (或BC).,题型二 与高度有关的问题,解 如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40,此时DBF=45,过点B作BECD于E,则AEB=30,,解 如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD,在BC
8、D中,CD=40,BCD=30,DBC=135, BDE=180-135-30=15.在RtBED中,BE=DBsin 15在RtABE中,AEB=30,AB=BEtan 30=故所求的塔高为,在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135,解斜三角形应用题的一般步骤是:(1)准确理解题意,分清已知与所求;(2)依题意画出示意图;(3)分析与问题有关的三角形;(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案;(5)注意方程思想的运用;(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,解斜三角形应用题的一般步骤是:,知能迁移2 如图所示,测量河对岸的 塔高AB时,可以选与塔底
9、B在同一水 平面内的两个测点C与D,现测得 BCD=,BDC=,CD=s,并 在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB. 解 在BCD中,CBD=-,知能迁移2 如图所示,测量河对岸的,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 (12分)如图所示,在梯形 ABCD中, ADBC,AB=5, AC=9,BCA=30,ADB=45, 求BD的长. 由于AB=5,ADB=45,因此要 求BD,可在ABD中,由正弦定理求解,关键 是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5, AC=9,ACB=30,因此可用正弦定理求 出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定 sinBAD即可.,题型三 正、余弦定理
10、在平面几何中的综合应用,解 在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30. ADBC,BAD=180-ABC,于是sinBAD=sinABC= . 8分同理,在ABD中,AB=5,sinBAD= ,ADB=45,解得BD= .故BD的长为 . 要利用正、余弦定理解决问题,需将 多边形分割成若干个三角形.在分割时,要注意 有利于应用正、余弦定理.,6分,12分,解 在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30.6,知能迁移3 如图所示,已知半圆的直径AB=2, 点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的 一个动点,以DC为边作等边PCD,且点D与 圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积
11、的 最大值.,知能迁移3 如图所示,已知半圆的直径AB=2,,解 设POB=,四边形面积为y,则在POC中,由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos =5-4cos .,解 设POB=,四边形面积为y,,方法与技巧1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个 平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法 感悟提高,思想方法 感悟提高,失误与防范在解实际问题时,应正确理解如下角的含义.1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角.3.坡度坡面
12、与水平面的二面角的度数.4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线 下方时称为俯角.,失误与防范,一、选择题1.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是30,60,则塔高为 ( ) 解析 作出示意图如图, 由已知:在RtOAC中, OA=200,OAC=30, 则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在RtABD中,AD= ,BAD=30, 则BD=ADtanBAD=,A,定时检测,A定时检测,2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小
13、时 后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船 的南偏西75,则这艘船的速度是每小时 ( ) A.5海里 B.5 海里 C.10海里 D.10 海里 解析 如图所示,依题意有BAC=60, BAD=75, 所以CAD=CDA=15, 从而CD=CA=10, 在RtABC中,得AB=5, 于是这艘船的速度是 (海里/小时).,C,2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两C,3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离都等于a km,灯塔A在 观察站C的北偏东20,灯塔B 在观察 站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B 的距离为 ( ) A.a km B. a km C. a k
14、m D.2a km 解析 利用余弦定理解ABC.易知ACB=120, 在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC BCcos 120=2a2-2a2,B,3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋B,4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔 P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这 座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ( ) A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时,4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔,解析 如图所示,在PMN中,,答案 A,解析 如图所示,在PMN中,答案 A,5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S
15、 在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20 海里,随后货轮按北偏西30的方向 航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则 货轮的速度为 ( ) A.20 海里/小时 B.20 海里/小时 C.20 海里/小时 D.20 海里/小时,5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S,解析 由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,答案 B,解析 由题意知SM=20,SNM=105,6.线段AB外有一点C,ABC=60, AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的 速度由B向C行驶,则运动开始 h后,两车的距离最 小. A. B.1 C. D.2,6.
16、线段AB外有一点C,ABC=60, AB=200 k,解析 如图所示,设t h后,汽 车由A行驶到D,摩托车由B行 驶到E,则AD=80t,BE=50t. 因为AB=200,所以BD=200-80t, 问题就是求DE最小时t的值. 由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60 =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t =12 900t2-42 000t+40 000.,答案 C,解析 如图所示,设t h后,汽答案 C,7.在ABC中,BC=1,B= ,当ABC的面积等于 时,tan C= . 解析 SABC= acsin B= ,c=4. 由余弦定理:b2
17、=a2+c2-2accos B=13,二、填空题,7.在ABC中,BC=1,B= ,当ABC的面积等,8.在ABC中,AC= ,BC=2,B=60,则A的大 小是 ,AB= . 解析,45,8.在ABC中,AC= ,BC=2,B=60,则A的,9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶, 若甲船是乙船速度的 倍,则甲船应取方向 才能追上乙船;追上时甲 船行驶了 海里. 解析 如图所示,设到C点甲船追上乙船, 乙到C地用的时间为t,乙船的速度为v, 则BC=tv,AC= tv,B=120, BC=AB=a, AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 12
18、0,北偏东30,9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船北,三、解答题10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等 于60,半径为2,在弧AB上有一动 点P,过P引平行于OB的直线和OA交 于点C,设AOP=,求POC 面积的最大值及此时的值. 解 CPOB,CPO=POB=60-, OCP=120. 在POC中,由正弦定理得,三、解答题,正弦定理、余弦定理应用举例课件,11.在ABC中,已知 (1)sin2 cos(B+C)的值; (2)若ABC的面积为4,AB=2,求BC的长. 解,11.在ABC中,已知,正弦定理、余弦定理应用举例课件,12.在海岸A处,发现北偏东45方向,
19、距离A( -1) n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解 如图所示,注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在ABC中求出BC, 再在BCD中求BCD. 设缉私船用t h在D处追上走私船,,12.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A( -1),则有CD=10 t,BD=10t.在ABC中,AB= -1,AC=2,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=( -1)2+22-2( -1)2cos 120=6,BC= ,CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.,返回,则有CD=10 t,BD=10t. 返回,