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1、正弦定理、余弦定理应用举例,1解斜三角形的常见类型及解法,在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.,正弦定理余弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理正弦定理,由A+B+C=180,求角A,再用正弦定理求出b与c.,用余弦定理求出角A,B,再由A+B+C=180求出角C.,由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角,由正弦定理求出角B;由ABC180,求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解,一解或无解,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,(
2、1)仰角和俯角：,3实际问题中的常用角,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角,指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫方向角.,(2)方向角,目标方向线方向一般可用“偏”多少度来表示,这里第一个“”号是“北”或“南”字,第二个“”号是“东”字或“西”字.,OA的方向角为；,OB的方向角为；,OC的方向角为；,OD的方向角为.,北偏东60,北偏西30,西南方向,南偏东20,(4)水平距离、垂直距离、坡面距离,(3)方位角,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为,如图BC代表水平距离,AC代表
3、垂直距离,AB代表坡面距离.,A,B,C,如图把坡面的铅直高度h和水平宽度为l 的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,坡度一般写成h:l的形式.如i=1:4,(5)坡度、坡角：,坡面与水平面所成的二面角的度数叫做坡角,坡角与坡度之间有如下关系：,测量距离问题,【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高,测量高度问题,如图,某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60
4、的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.,如图,某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为60.(2)求塔的高AB.,正、余弦定理在平面几何中的综合应用,【例3】如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求BD的长,如图所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.,运用正、余弦定理解决实际应用问题,解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：
5、分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与 求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一 个解斜三角形的数学模型；第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解,例1.(2010福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.,解:如图,设在时刻 t(小时)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t60(千米),
