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1、4、角平分线 （第2课时）,第一章 三角形的证明,北师大版八年级数学下册：,1.掌握三角形三条角平分线的性质定理.(重点)2.会用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题.(难点),三角形三条角平分线的性质定理如图,在ABC中,ABC和BAC的平分线交于点P.作PDBC于D,PFAB于F,PEAC于E.P在ABC的平分线上,PDBC,PFAB,PF=_.同理PF=_.PD=_.又PDBC,PEAC,CP平分_.,PD,PE,PE,ACB,【总结】1.三角形三条角平分线的交点情况:三角形的三条角平分线相交于_.2.三角形三条角平分线的交点性质:三角形三条角平分线的交点到三条边的距离_.,一点,相
2、等,(1)三角形三条角平分线的交点不止一个.( )(2)三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部.( )(3)三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.( )(4)三角形两条角平分线的夹角一定是钝角.( ),知识点 三角形三条角平分线性质定理的应用【例】如图,在RtABC中,A=90,AB=3,AC=4,BC=5,ABC,ACB的平分线交于P点,PEBC于点E,求BECE的值.【解题探究】(1)如图,过P作PFAC于点F,作PGAB于点G,连接AP,那么PG,PE,PF有什么关系?为什么?提示:PG=PE=PF.因为点P为ABC角平分线的交点.,(2)由图形可知SABC=SABP+
3、SBCP+_,即 ABAC= ABPG+ BCPE+ _,由此可得PG=PE=PF=_.(3)由PGAB,PFAC,可得PGA=_=90=GAF.四边形PGAF是_,AG=_=1.BG=AB-_=_.(4)由HL可知BGPBEP,因此BG=BE=_,CE=BC-BE=_,BECE=_.,SACP,ACPF,1,PFA,矩形,PF,AG,3-1=2,2,3,23=6,【互动探究】例题中四边形AGPF是什么样的特殊四边形,为什么?提示:四边形AGPF是正方形.由探究可知AGPF是矩形,而PG=PF,故四边形AGPF是正方形.,【总结提升】三角形三条角平分线之“一、二、三”(1)一个交点:三角形三条
4、角平分线交于一点.(2)两条性质:交点到三条边的距离相等;交点在三角形的内部.(3)三类应用:利用角平分线的性质求角的度数;利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等;确定到三角形三边距离相等的点.,题组:三角形三条角平分线性质定理的应用1.如图,已知ABC,求作一点P,使P到A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是()A.P是A与B两角平分线的交点B.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC,AB两边上的高的交点D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点,【解析】选B.点P到A的两边距离相等,则点P应在A的平分线上,又因PA=PB,点P又在AB的垂直平分线上.,2
5、.已知ABC内一点P,如果点P到AB,AC两边的距离相等,则点P()A.在BC边的垂直平分线上B.在BC边的高上C.在BAC的平分线上D.在BC边的中线上【解析】选C.PEAB,PFAC,PE=PF,P在BAC的角平分线上,3.若O为ABC内一点,且SOABSOACSOBC=ABACBC,则O点为()A.ABC三条中线的交点B.ABC三条高的交点C.ABC三边中垂线的交点D.ABC三条内角平分线的交点,【解析】选D.若O为ABC内一点,且SOABSOACSOBC=ABACBC,根据三角形的面积公式得到ABC内一点O到三角形各边的距离相等,即O点为ABC三条内角平分线的交点.,4.如图,在ABC
6、中,BM,CM分别平分ABC和ACB,连接AM,已知MBC=25,MCA=30,则MAB的度数为()A.25 B.30 C.35 D.40,【解析】选C.BM平分ABC,MBC=25,ABC=2MBC=50.CM平分ACB,MCA=30,ACB=2MCA=60,BAC=180-ABC-ACB=70.在ABC中,BM,CM分别平分ABC和ACB,AM平分BAC,MAB= BAC=35.,5.在ABC中,BO平分ABC,CO平分ACB,当A=50时,BOC=.【解析】A=50,ABC+ACB=180-A=180-50=130,BO平分ABC,CO平分ACB,OBC= ABC,OCB= ACB,OBC+OCB= (ABC+ACB)=65,在OBC中,BOC=180-(OBC+OCB)=180-65=115.答案:115,6.如图所示,BD平分ABC,AB=BC,点P在BD上,PMAD,PNCD,M,N为垂足.求证:PM=PN.【证明】在ABD和CBD中,AB=BC,ABD=CBD,BD=BD,ABDCBD(SAS),ADB=CDB.又PMAD,PNCD,PM=PN.,【想一想错在哪？】如图,已知D,E分别是ABC的BC,AC边上一点,AE=AB,DB=DE.求证:AD是ABC的角平分线.提示:BD,DE不是点D到角两边的距离,不能直接得到AD平分BAC.,
