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1、12.1 全等三角形,第十二章 全等三角形,情境引入,学习目标,1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点）2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点）3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点）,导入新课,观察与思考,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,讲授新课,问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？,问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？,归纳总结,全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.,全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.,下面哪些图形是全等图形？,（1）
2、,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）,（12）,大小、形状完全相同,找一找,像上图一样，把ABC叠到DEF上，能够完全重合的两个三角形,叫作全等三角形.,把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.,你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？,A,A,C,B,D,E,A,B,D,C,A,B,C,D,B,C,E,思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？,全等三角形的对应边相等，对应角相等,全等三角形的性质,一个图形经过平移、翻折、旋转后,_ 变化了,但和都没有
3、改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形_.,形状,大小,全等,位置,归纳总结,全等变化,ABCFDE,注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.,全等的表示方法,“全等”用符号“”表示，读作“全等于”.,例1：如图，若BODCOE，BC，指出这两个全等三角形的对应边；若ADOAEO，指出这两个三角形的对应角.,典例精析,解：BOD与COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；ADO与AEO的对应角为：DAO与EAO，ADO与AEO，AOD与AOE.,找一找下列全等图形的对应元素？,A,B,C,D,F,请你利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角
4、的图形.试用全等符号表示它们，分析每个图形，找准对应边、对应角.,1.有公共边,寻找对应边、对应角有什么规律?,探究归纳,1.有公共边，则公共边为对应边；,2.有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角；,3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；,4.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.,2.有公共点,总结归纳,A,B,C,E,D,F,ABCDEF(已知），,AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等），,A=D,B=E,C=F(全等三角形对应角相等）.,全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.,全等的性质,AB
5、CFDE,A B=F D，A C=F E，B C=D E（全等三角形对应边相等）,A=F，B=D，C=E（全等三角形对应角相等）,全等三角形的性质的几何语言,试一试：如图，ABC与ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.,解：ABCADC;相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角为：BAC=DAC，B=D，ACB=ACD.,例2 如图，ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7，求DEF的度数和CF的长,解：ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7，DEFB50，BCEF7，CFBCBF743.,例3 如图，EFGNMH，EF=2.1cm，EH
6、=1.1cm，NH=3.3cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；,解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有E和N，F和M，EGF和NHM.,（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.,解：EFGNMH，NM=EF=2.1cm，EG=NH=3.3cm.HG=EG EH=3.3-1.1=2.2（cm）.,解：结论：EFNM证明：EFGNMH，E=N.EFNM.,当堂练习,1.能够 的两个图形叫做全等形.两个三角形 重合时，互相 的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上.,重合,
7、重合,重合,相对应,2.如图，ABC ADE,若D=B，C=AED，则DAE=；DAB=.,BAC,EAC,3.如图，ABCBAD，如果AB=5cm,BD=4cm，AD=6cm，那么BC的长是（）A.6cm B.5cm C.4cm D.无法确定4.在上题中，CAB的对应角是（）A.DAB B.DBA C.DBC D.CAD,A,B,5.如图,ABCAED,AB是ABC的最大边，AE是AED的最大边,BAC 与 EAD是对应角,且BAC=25，B=35,AB=3cm,BC=1cm,求出E,ADE的度数和线段DE,AE 的长度.,解:ABCAED,(已知),E=B=35,(全等三角形对应角相等),
8、ADE=ACB=1802535=120,(全等三角形对应角相等),DE=BC=1cm,AE=AB=3cm.(全等三角形对应边相等),摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！,拼接的图形展示,课堂小结,全等三角形,定义,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,基本性质,对应边相等,对应角相等,对应元素确定方法,对应边,对应角,长对长，短对短，中对中,公共边一定是对应边,大角对大角，小角对小角,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角,12.2三角形全等的判定,第十二章 全等三角形,第1课时“边边边”,情境引入,
9、1.探索三角形全等条件.（重点）2.“边边边”判定方法和应用.（难点）3.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法,导入新课,为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据了，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？,1.什么叫全等三角形？,能够重合的两个三角形叫 全等三角形.,3.已知ABC DEF，找出其中相等的边与角.,AB=DE,CA=FD,BC=EF,A=D,B=E,C=F,2.全等三角形有什么性质？,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABCDEF吗?,想一想：,即
10、：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等,探究活动1：一个条件可以吗？,（1）有一条边相等的两个三角形,不一定全等,（2）有一个角相等的两个三角形,不一定全等,结论：,有一个条件相等不能保证两个三角形全等.,有两个条件对应相等不能保证三角形全等.,不一定全等,探究活动2：两个条件可以吗？,不一定全等,不一定全等,结论：,（1）有两个角对应相等的两个三角形,（2）有两条边对应相等的两个三角形,（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形,结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.,（1）有三个角对应相等的两个三角形,探究活动3：三个条件可以吗？,（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？,先
11、任意画出一个ABC，再画出一个ABC,使AB=AB,BC=BC,A C=AC.把画好的ABC剪下，放到ABC上，他们全等吗？,A,B,C,想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？,作法：（1）画BC=BC；（2）分别以B,C为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A；（3）连接线段AB,A C.,动手试一试,文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）,“边边边”判定方法,在ABC和 DEF中，,ABC DEF（SSS）.,几何语言：,例1 如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架求证：（1）AB
12、D ACD,解题思路：,先找隐含条件,公共边AD,再找现有条件,AB=AC,最后找准备条件,BD=CD,D是BC的中点,证明：D 是BC中点，BD=DC 在ABD 与ACD 中，,ABD ACD（SSS）,准备条件,指明范围,摆齐根据,写出结论,(2)BAD=CAD.,由（1）得ABDACD，BAD=CAD.（全等三角形对应角相等）,如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.求证:ABC DCF.,在ABC 和DCF中，,AB=DC，,ABC DCF,(已知),(已证),AC=DF，,BC=CF，,证明：C是BF中点，,BC=CF.,(已知),(SSS).,针对训练,已知:如图,点B、E、
13、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:（1）ABC DEF；,（2）A=D.,证明:,ABC DEF(SSS).,在ABC 和DEF中，,AB=DE，AC=DF，BC=EF，,(已知),(已知)(已证),BE=CF，,BC=EF.,BE+EC=CF+CE，,（1）,（2）ABC DEF（已证），A=D（全等三角形对应角相等）.,E,变式题,解：D是BC的中点，,BD=CD.,在ABD与ACD中，,AB=AC（已知），,BD=CD（已证），,AD=AD（公共边），,ABDACD（SSS），,例2 如图,ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，试说明：
14、B=C.,B=C.,典例精析,已知：AOB求作：AOB=AOB,例3 用尺规作一个角等于已知角,O,D,B,C,A,O,C,A,B,D,作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC 长为半 径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中 所画的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB,已知：AOB求作：AOB=AOB,用尺规作一个角等于已知角,依据是什么？,1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使ABFECD，还需要条件 _(填一个条件即可）.,BF=CD,当
15、堂练习,2.如图，ABCD，ADBC,则下列结论：ABCCDB；ABCCDA；ABD CDB；BADC.正确的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,C,=,=,3.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：ABCAED.,证明：BD=CE,BDCD=CECD.,BC=ED.,=,=,在ABC和ADE中，,AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），,ABCAED（SSS）.,4.已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求证：(1)ABCFDE;(2)C=E.,证明：(1)AD=FB，AB=FD（等式性质）.在ABC和FDE 中，,AC=FE（已知
16、），BC=DE（已知），AB=FD（已证），ABCFDE（SSS）；,=,=,?,?,。,。,（2）ABCFDE（已证）.,C=E（全等三角形的对应角相等）.,5.如图,ADBC,ACBD.求证:CD.(提示:连结AB),证明：连结AB两点,ABDBAC(SSS),AD=BC，BD=AC，AB=BA，,在ABD和BAC中，,D=C.,思维拓展,6.如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？,ABDACD(SSS),ABHACH(SSS),BDHCDH(SSS),课堂小结,边边边,内容,有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”),应用,思路分析,书
17、写步骤,结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件,注意,四步骤,1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.,12.2三角形全等的判定,第十二章 全等三角形,第2课时“边角边”,情境引入,1探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）2会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用（重点）3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件（难点）,1.回顾三角形全等的判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.,知识回顾,当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:,除了SSS外,还有
18、其他情况吗？,思考,讲授新课,问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？,“两边及夹角”,“两边和其中一边的对角”,它们能判定两个三角形全等吗？,尺规作图画出一个ABC，使ABAB，ACAC，AA（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？,探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等,动手试一试,作法：（1）画DAE=A；（2）在射线AD上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC；（3）连接BC.,？,思考：A B C 与 ABC 全等吗？如何验证？,这两个三角形全等是满足哪三个条件？,在ABC 和 DEF中，,A
19、BC DEF（SAS）,文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）,“边角边”判定方法,几何语言：,必须是两边“夹角”,例1：如果AB=CB，ABD=CBD，那么 ABD 和 CBD 全等吗？,分析:,ABD CBD.,AB=CB(已知)，,ABD=CBD(已知)，,？,(SAS),BD=BD(公共边).,典例精析,证明：,在ABD 和 CBD中，,AB=CB(已知)，,ABD=CBD(已知)，,ABDCBD(SAS).,BD=BD(公共边)，,变式1:已知：如图,AB=CB,1=2.求证:(1)AD=CD；(2)DB 平分 ADC.,在ABD与CBD中
20、，,证明:,ABDCBD（SAS），,AD=CD，3=4，,DB 平分 ADC.,A,B,C,D,变式2:已知:AD=CD，DB平分ADC，求证:A=C.,1,2,在ABD与CBD中，,证明:,ABDCBD（SAS），,A=C.,DB 平分 ADC，,1=2.,例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?,C,A,E,D,B,证明：在ABC 和DEC 中，,ABC DEC（SAS），AB=DE，（全等三角形的对应边相等）.,已知:
21、如图,AB=DB,CB=EB,12，求证:A=D.,证明:12(已知)，1+DBC 2+DBC(等式的性质)，即ABCDBE.在ABC和DBE中,ABDB(已知)，ABCDBE(已证)，CBEB(已知)，ABCDBE(SAS).A=D(全等三角形的对应角相等).,针对训练,想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD.这个实验说明了什么？,B,A,C,D,ABC和ABD满足AB=AB,AC=AD,B=B,但ABC与ABD不全等.,探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等,画一画：画ABC 和DEF，使B=E=30，AB=DE=5 cm，A
22、C=DF=3 cm 观察所得的两个三角形是否全等？,A,B,M,C,D,例3 下列条件中，不能证明ABCDEF的是(),典例精析,AABDE，BE，BCEFBABDE，AD，ACDFCBCEF，BE，ACDFDBCEF，CF，ACDF,解析：要判断能不能使ABCDEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.,C,方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的,当堂练习,1.在下列图中找出全等三角形进行连线.,2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证ABEDBC
23、，则需要增加的条件是()A.AD B.EC C.A=C D.ABDEBC,D,3.如图，点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF.求证：AFDCEB.,证明：,AD/BC，,A=C，,AE=CF，,在AFD和CEB中，,AD=CB,A=C,AF=CE,AFDCEB（SAS）.,AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.,(已知），,(已证），,(已证），,4.已知：如图，AB=AC,AD是ABC的角平分线，求证：BD=CD.,证明：,AD是ABC的角平分线，,BAD=CAD，,在ABD和ACD中，,AB=AC,BAD=CAD,AD=AD,ABDACD（SAS）.,(已知），,(已证）
24、，,(已证），,BD=CD.,已知：如图，AB=AC,BD=CD，求证：BAD=CAD.,变式1,证明：,BAD=CAD，,在ABD和ACD中，,ABDACD（SSS）.,已知：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点，求证：BE=CE.,变式2,证明：,BAD=CAD，,在ABD和ACD中，,BE=CE.,在ABE和ACE中，,ABDACD（SSS）.,ABEACE（SAS）.,5.如图，已知CA=CB,AD=BD,M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.,在ABD与CBD中,证明:,ACDBCD（SSS）,能力提升,连接CD，如图所示；,A=B,又M，N分别是CA，CB的中点，
25、,AM=BN,在AMD与BND中,AMDBND（SAS）,DM=DN.,课堂小结,边角边,内容,有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”),应用,为证明线段和角相等提供了新的证法,注意,1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边,12.2三角形全等的判定,第十二章 全等三角形,第3课时“角边角”、“角角边”,情境引入,1探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”2会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等,导入新课,如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来
26、一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?,情境引入,讲授新课,问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？,图一,图二,“两角及夹边”,“两角和其中一角的对边”,它们能判定两个三角形全等吗？,作图探究,先任意画出一个ABC，再画一个A B C，使A B=AB，A=A，B=B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的A B C 剪下，放到ABC上，它们全等吗？,A,B,C,E,D,作法：（1）画AB=AB;（2）在AB的同旁画DAB=A，EBA=B，AD，BE相交于点C.,想一想：从中你能发现什么规律？,“角边角”判定方法,文字语言：有两角和它们夹边对应
27、相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.,几何语言：,例1 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCB,ABCDCB(已知），BCCB（公共边），ACBDBC（已知），,证明：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（ASA）.,判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等,例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,B=C,求证：AD=AE.,分析：证明ACDABE,就可以得出AD=AE.,证明：在ACD和ABE中，,A=A（公共角），AC=AB（已知），C=B（已知），,ACDABE（ASA)，,AD=AE.,问题：若三角形的两个内角分别是60和45，且4
28、5所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?,合作探究,思考：,这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.,归纳总结,例3：在ABC和DEF中，AD，B E，BC=EF.求证：ABCDEF,BE，BCEF，CF.,证明：,在ABC中，A+B+C180.,ABCDEF（ASA）.,C180AB.,同理 F180DE.,又 AD，B E,CF.,在ABC和DEF中，,例4 如图，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)BD
29、AAEC；,证明：(1)BDm，CEm，ADBCEA90，ABDBAD90.ABAC，BADCAE90，ABDCAE.在BDA和AEC中，,ADB=CEA=90，ABDCAE,ABAC，,BDAAEC(AAS).,(2)DEBDCE.,BDAE，ADCE，DEDAAEBDCE.,证明：BDAAEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化,1.ABC和DEF中，ABDE，BE，要使ABCDEF，则下列补充的条件中错误的是（）AACDF BBCEF CAD DCF 2.在ABC与ABC中，已知A4
30、4，B67，C69，A44，且ACAC，那么这两个三角形（）A一定不全等 B一定全等 C不一定全等 D以上都不对,当堂练习,A,B,3.如图，已知ACB=DBC，ABC=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.,不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.,A,B,C,D,E,F,4.如图ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件，才能使ABCDEF（写出一个即可）.,B=E,或A=D,或 AC=DF,（ASA）,（AAS）,（SAS）,AB=DE可以吗？,ABDE,5.已知：如图，ABBC，ADDC，1=2,求证：AB=AD.,证明：ABBC，ADDC，,B=D=90.,在AB
31、C和ADC中，,ABCADC（AAS)，,AB=AD.,学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?,答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.,能力提升：已知：如图，ABC ABC，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.试说明AD AD，并用一句话说出你的发现.,解：因为ABC ABC，所以AB=AB（全等三角形对应边相等），ABD=ABD（全等三角形对应角相等）.因为ADBC，ADBC，所以ADB=ADB.在ABD和ABD中，ADB=ADB（已证），AB
32、D=ABD（已证），AB=AB（已证），所以ABDABD.所以AD=AD.,全等三角形对应边上的高也相等.,课堂小结,边角边角角边,内容,有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”),应用,为证明线段和角相等提供了新的证法,注意,注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别,12.2 三角全等形的判定,第十二章 全等三角形,第4课时“斜边、直角边”,情境引入,1探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”（难点）2会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等（重点）,SSS,SAS,ASA,AAS,旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法,导入新课,如图，RtABC中，C
33、=90，直角边是_、_，斜边是_.,AC,BC,AB,思考：,前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,A,B,C,A,B,C,1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,口答：,动脑想一想,如图，已知AC=DF，BC=EF，B=E，ABCDEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.,问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即B=E=90，且AC=DF，BC=EF，现在能判定A
34、BCDEF吗？,讲授新课,任意画出一个RtABC,使C=90.再画一个RtA B C，使C=90,BC=BC,A B=AB,把画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们能重合吗？,作图探究,画图思路,（1）先画M C N=90,画图思路,（2）在射线CM上截取BC=BC,N,B,画图思路,（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于A,N,B,A,画图思路,（4）连接AB,N,B,A,思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？,“斜边、直角边”判定方法,文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.,几何语言：,在RtABC和Rt ABC
35、 中，,RtABC Rt ABC(HL).,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等（）,HL,SAS,AAS,AAS,判一判,例1 如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.,证明：ACBC，BDAD，C与D都是直角.,在 RtABC 和RtBAD 中，,RtABCRtBAD(HL).BCAD.,变式1：如图，ACB=ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这
36、些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）,AD=BC,DAB=CBA,BD=AC,DBA=CAB,HL,HL,AAS,AAS,如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.,变式2,HL,AC=BD,RtABDRtBAC,如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.,变式3,HL,ADB=CBD,RtABDRtCDB,ADBC,例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.,证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和A
37、BE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL)BDBF.BDCDBFEF.即BCBE.,方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？,解：在RtABC和RtDEF中,RtABCRtDEF(HL).,B=DEF(全等三角形对应角相等).,DEF+F=90,B+F=90.,D,A,当堂
38、练习,1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等,2.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则 CH的长为（）A1 B2 C3 D4,4.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.,证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.,在 RtEBC 和RtDCB 中，,RtEBCRtDCB(HL).,3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.
39、,全等,HL,5.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.,证明:BFAC,DEAC,BFA=DEC=90.AE=CF，AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE.,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF.,变式训练1,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?,变式训练2,C,RtABFRtCDE(HL)
40、.,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,6.如图，有一直角三角形ABC，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等？,【分析】本题要分情况讨论：(1)RtAPQRtCBA，此时APBC5cm，可据此求出P点的位置(2)RtQAPRtBCA，此时APAC，P、C重合,解：(1)当P运动到APBC时，CQAP90.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APBC，RtABCRtQPA(HL)，APBC5cm；,能力
41、拓展,(2)当P运动到与C点重合时，APAC.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APAC，RtQAPRtBCA(HL)，APAC10cm，当AP5cm或10cm时，ABC才能和APQ全等,【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解,课堂小结,“斜边、直角边”,内容,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,前提条件,在直角三角形中,使用方法,只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）,12.3 角的平分线的性质,第十二章 全等三角形,第1课时 角平分线的性质,1.通过操作、验证
42、等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）,挑战第一关 情境引入,问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？,导入新课,用量角器度量，也可用折纸的方法,问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？,提炼图形,问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.,挑战第二关 探索新知,问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
43、仪器的功能吗？,做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.,提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？,A,B,O,已知:AOB.,求作：AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!,作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交
44、于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.,已知：平角AOB.求作：平角AOB的角平分线.,结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.,1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_,C,O,B,A,PD=PE,实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,验证猜想,已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.,证明：
45、,PDOA,PEOB，,PDO=PEO=90.,在PDO和PEO中，,PDO=PEO，,AOC=BOC，,OP=OP，,PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即,1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.,方法归纳,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP 是AOB的平分线，,PD=PE,推理的理由有三个，必须写完全，不
46、能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,(2)如上右图，DCAC，DBAB（已知）.,=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.,证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，,DE=DF,DEB=DFC=90.,在RtBDE 和 RtCDF中，,RtBDE RtCDF(HL).,EB=FC.,典例精析,例2:如图，AM是BAC的平分
47、线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.,4,温馨提示：存在两条垂线段直接应用,典例精析,变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：存在一条垂线段构造应用,变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.,D,（3）求PDB的周长.,ABPD=28.,由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,
48、面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,当堂练习,2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.,3,E,1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则 EBF=度，BE=.,60,BF,3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,4.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是(),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A
49、,D,解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，解得AC3.,F,方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,6,8,10,5.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB，RtCDBRtEDB(HL)，BEBC=8.AEAB-BE=2.AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
50、,6.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.,解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N.ADBC，MNBC，MN的长即为AD与BC之间的距离.AP平分BAD,PMAD,PEAB，PM=PE.同理，PN=PE.PM=PN=PE=3.MN=6.即AD与BC之间的距离为6.,7.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.,证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.,课堂小结,角平分线,尺规作图,属于基本
