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1、八年级上册第十二章“全等三角形”简介课程教材研究所宋莉莉八年级上册第12章是“全等三角形”。这一章以三角形为例，研究了两个图形间一种特殊的关系全等，研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定。进一步培养学生的推理论证能力也是本章的一个重要目标。本章让学生通过判定两个三角形全等来证明线段相等或角相等，并由此推出了角的平分线的性质。全章共安排了三个小节和一个选学内容，教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：12.1 全等三角形 1课时12.2 三角形全等的判定 6课时信息技术应用 探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质 2课时数学活动小结 2课时一、教科书内容和本章学习目标1本章知识
2、结构本章知识结构如下图所示：2. 教科书内容中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。全等形在几何中处处可见，为了避免学生将全等的概念局限于全等三角形，本章从现实世界中
3、各种各样的全等图形谈起。接着，教科书从“重合”的角度定义了全等形和全等三角形的概念，这种定义方式有利于学生借助生活经验直观地认识所定义的对象，也便于引出全等形的对应部分。性质与判定是研究全等三角形的两个重要方面。教科书由全等三角形的定义直接导出全等三角形的性质。在研究全等三角形的判定方法时，由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发，引出由三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。接下来，教科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动首先提出探究的问题：由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，那么能否减少条件，简捷地判定两个三角形全等呢？然后
4、从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，分别探究“一个条件”“两个条件”“三个条件”能否保证两个三角形全等。对于“三个条件”的情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况依次进行了探究。同时，根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式，有的让学生通过作图实验，猜想结论，再以基本事实的形式给出判定方法，有的让学生通过举反例说明判定方法不成立，有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形全等的特殊方法。由于角的平分线的性质可以用全等三角形的知识证明，本章的最后一节安排了角的平分线的性质的内容。首先，由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的
5、平分线的尺规作图，然后探究并证明了角的平分线的性质，同时总结了证明一个几何命题的一般步骤，最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理。本章重点研究了三角形全等的判定方法，并在其中渗透了研究几何图形的基本问题和方法。在推理论证方面，本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题，又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题，在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容，推理论证的难度比三角形一章提高了。为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度，本章设置了多道例题做出示范，包括怎样分析条件与结论的关系，怎样书写证明格式，
6、还总结了证明几何命题的一般步骤。3. 本章学习目标（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质。（2）经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等。（3）能利用三角形全等证明一些结论。（4）探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质。二编写时考虑的几个问题1. 重视渗透研究几何图形的基本问题和方法研究几何图形的基本问题和方法指的是研究几何图形的主要内容和一般性方法，对它的理解有利于学生在学习不同几何对象时产生正迁移。在前面的几何学习中，学生学习了
7、线段、角等基本几何元素，研究了相交线与平行线、三角形等基本几何图形，积累了一些几何研究的经验，本章利用和进一步强化了这些经验。例如，在七年级下册相交线与平行线一章，学生认识了图形的判定和图形的性质的含义，知道它们是研究几何图形的两个重要方面，这些已有的认识将有利于学生理解性质和判定也是研究全等三角形的重要内容，同时对将研究的内容做到心中有数。此外，本章还利用了判定和性质在命题陈述上的互逆关系来引出对全等三角形进行判定的内容在介绍三角形的判定方法之前，首先回顾了全等三角形的性质，然后将其中的条件和结论交换位置，来考虑判定三角形全等的方法。而在利用三角形全等证明线段相等或角相等时，本章注重体现判定
8、和性质的综合运用，即先证明两个三角形全等，再进一步证明其中某些对应元素相等。同时，本章在推出新结论时，多次应用了实验和论证相结合的方式。例如，介绍角的平分线的性质时，先让学生通过作图、测量，猜想性质，再利用三角形全等进行证明。又如，习题12.2的第13题让学生先观察、分析，找出图中的全等三角形，再证明它们全等。再如，“活动2 用全等三角形研究筝形”让学生在已有研究平面图形的经验的基础上，通过作图、测量、折纸等多种方法探究筝形的角、对角线的性质，再用全等三角形的知识证明。2. 注重设计让学生自主探究的活动在几何学习中，学生的动手操作和自主探究对他们运用几何思想、发现几何结论具有积极的意义。本章设
9、置了多处让学生自主探究的活动，例如，为了帮助学生理解和掌握判定两个三角形全等的方法，教科书在第12.2节设计了一个完整的探究活动，提出了探究目标（在三条边分别相等，三个角也分别相等的六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等）和探究思路（从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，对“一个条件”“两个条件”“三个条件”的情形分别进行探究），编排了一系列的探索活动（探究25，第39，41页的思考栏目）。在探索活动中，将作图问题与判定全等问题结合起来，操作性强，便于学生自主探究。而信息技术应用栏目“探究三角形全等的条件”则是作为对正文中用尺规作三角形的补充，让学生用几何画板软件根据给定的边、角条
10、件画三角形，加深理解哪些条件能决定三角形的形状和大小。而且借助技术手段，学生可以自己设计动态过程，在图形的运动变化中确定三角形全等的条件。又如，“活动2 用全等三角形研究筝形”在设计中，提出了探究的手段用画图、测量、折纸等方法猜想，用全等三角形的知识证明猜想的结论，和探究的对象筝形的角、对角线的性质。学生可以利用已有研究几何图形的经验自主探究。 3. 注重体现知识间的联系全等三角形的性质是由两个三角形全等推出线段相等和角相等的结论，而三角形全等的判定是由线段相等和角相等的条件判定两个三角形具有全等的关系，因此全等三角形和线段相等和角相等之间存在必然的联系。在前面的学习中，学生通过直观认识了线段
11、相等和角相等，知道了两条直线平行与相应的角相等之间的关系、平移前后新旧图形具有全等关系，了解了三角形中所蕴含的线段或角的等量关系（例如，一边上的中线、角平分线、三角形内角和定理及其推论中都蕴含了线段或角的等量关系），而学生在生活中的折纸等活动帮助他们建立起了重合的经验。本章在编排上尽可能地将这些知识和经验与全等三角形建立起联系。例如，教科书第31页的思考栏目将平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等三角形联系起来，让学生通过观察和借助生活中的经验认识到，一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形与原来的三角形全等。这相当于让学生用运动的眼光看待全等问题，丰富了他们认识全等的角度。又如，本章在编制
12、练习和习题时，充分融入了学生对线段相等和角相等的直观认识（其实也是欧氏几何中关于全等的公理：等量加等量和相等，等量减等量差相等，彼此能重合的物体是全等的，整体大于部分）、平行线的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容，使学生在巩固新知识的同时，建立起新旧知识之间的联系。六对教学的几个建议1. 用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。例如，在教授本章之前，可以先让学生根
13、据研究几何图形的经验，思考全等三角形的主要研究内容是什么。学生明确了性质和判定也是研究全等三角形的两个重要方面，不仅可以对将学习的内容做到心中有数，而且可以帮助他们从数学内部认识研究全等的目的。又如，在教学全等三角形的性质之前，可以提示学生：三角形的性质描述的是三角形的边和角所具有的共同特征，那么全等三角形的性质研究的是什么内容。而在学生学习三角形全等的判定方法之前，可以先让他们回忆图形的判定讨论的是确定某种图形需要的条件，从而明确研究全等三角形的判定就是要确定能保证两个三角形全等的条件；再让他们利用性质和判定在命题陈述上的互逆关系，得到用三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法
14、。再如，活动2中学生独立研究筝形的性质时，要先让他们回顾研究几何图形的基本思路和方法。 2. 让学生充分经历探究过程本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动。教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件。特别是判定三角形全等的“边边边”“边角边”“角边角”方法是以基本事实的方式给出来的，不需要证明来确认其正确性，判定直角三角形全等的“斜边、直角边”方法在本章中也暂时没给出证明，教学中要让学生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的边、角条件与两个三角形全等
15、之间的关系，在充分探索的基础上感受结论的合理性。本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形。教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动中发现结论。 3. 重视对学生推理论证能力的培养本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，和通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等。教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力。按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤。教学中可以以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结论的思路，由教师示范证明的格式，再逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程。同时要注意根据教学内容及时地安排相应的训练，让学生切实提高推理论证能力。 2013-05-10 人教网
