最新人教版八年级数学第十二章：全等三角形教案汇总.doc

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1、第十二章 全等三角形12.1 全等三角形教学目标 1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。教学重点 全等三角形的性质。教学难点 找全等三角形的对应边、对应角。教学过程、提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全重合的。 2、学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样。 3、获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、

2、对应角、对应边，以及有关的数学符号。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形。要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同。 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义。仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求。 、导入新课 利用投影片演示将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180得到DBC；将ABC旋转180得AED。 议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出： ABCDEF，ABCDBC，ABCAED。 （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图

3、形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。 全等三角形的对应角相等。例1如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。 问题：OCAOBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将OCA翻折可以使OCA与OBD重合。因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A

4、和D重合。 C=B；A=D；AOC=DOB，AC=DB；OA=OD；OC=OB。 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合。一般是平移、翻转、旋转的方法。例2如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角。 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来。 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素。常用方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。 （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。 解：对应角为BAE和CA

5、D。 对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD。 例3已知如图ABCADE，试找出对应边、对应角。（由学生讨论完成） 借鉴例2的方法，可以发现A=A，在两个三角形中A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边。而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了。再根据对应边所对的角是对应角可得B与D是对应角，ACB与AED是对应角。所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE。对应角为A与A、B与D、ACB与AED。 做法二：沿A与BC、DE交点O的连线将ABC翻折180后，它正好和ADE重合。这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC

6、与DE。对应角为A与A、B与D、ACB与AED。 。课堂练习 课本32页练习1、2题。 。课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素。这也是这节课大家要重点掌握的。找对应元素的常用方法有两种： （一）从运动角度看 1。翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素。 2。旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素。 3。平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素。 （二）根据位置元素来推理 1。全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边。 2。全等三角形对

7、应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。 。作业课后作业:习题12.1第1,3题。 板书设计 12.1 全等三角形 一、概念 二、全等三角形的性质 三、性质应用 例1：（运动角度看问题） 例2：（根据位置来推理） 例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理） 四、小结：找对应元素的方法 运动法：翻折、旋转、平移。 位置法：对应角对应边，对应边对应角。 12.2 三角形全等的条件12.2.1 三角形全等的条件（第一课时） 教学目标 1、三角形全等的“边边边”的条件。 2、了解三角形的稳定性。 3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 教学重点 三角形全等的

8、条件。 教学难点 寻求三角形全等的条件。 教学过程 、创设情境，引入新课 出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形。 已知ABCABC，找出其中相等的边与角。 图中相等的边是：AB=AB、BC=BC、AC=AC。 相等的角是：A=A、B=B、C=C。 展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ （可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等。这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）。 这是利用了全等三角形的定义来作图。那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题。

9、、导入新课 出示投影片 1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？ 2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做。 三角形一内角为30，一条边为3cm。 三角形两内角分别为30和50。 三角形两条边分别为4cm、6cm。 学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流。 结果展示： 1。只给定一条边时： 只给定一个角时： 2。给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。 可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？ 归纳：有四种

10、可能。即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边。 在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等。下面我们就来逐一探索其余的三种情况。 已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1、作图方法： 先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。 2、以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合。这说明这些三角形都是全等的。

11、3、特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形ABC，使AB=AB、AC=AC、BC=BC。将ABC剪下，发现两三角形重合。这反映了一个规律： 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 用上面的规律可以判断两个三角形全等。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据。请看例题 例如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：ABDACD。 师生共析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等。 证明：因为D是BC的中点 所以BD=DC 在A

12、BD和ACD中 所以ABDACD（SSS）。 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。所以日常生活中常利用三角形做支架。就是利用三角形的稳定性。例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。、随堂练习如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB。要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 2、课本37页练习1，2题。 、课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等

13、的一个规律SSS。并利用它可以证明简单的三角形全等问题。 、作业习题12.2第1题； 板书设计 12.2.1 三角形全等的条件（一） 一、三角形全等的条件 三边对应相等的两三角形全等（SSS） 二、例 三、课堂练习 四、小结12.2.1 三角形全等的条件（第二课时）教学目标 1、三角形全等的“边角边”的条件。 2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 3、掌握三角形全等的“SS”条件，了解三角形的稳定性。 4、能运用“SS”证明简单的三角形全等问题。 教学重点 三角形全等的条件。 教学难点 寻求三角形全等的条件。 教学过程一、创设情境，复习提问1、怎样的两个三角

14、形是全等三角形？2、全等三角形的性质？3、指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：ABDACE，AB与AC是对应边；图(2)中：ABCAED，AD与AC是对应边。三角形全等的判定的内容是什么？二、导入新课1。三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？不难看

15、出，这两个三角形有三对元素是相等的：AOCO，AOB COD，BODO。如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOB COD， OBOD，所以点B与点D重合。这样ABO与CDO就完全重合。(此外，还可以图1(1)中的ACE绕着点A逆时针方向旋转CAB的度数，也将与ABD重合。图1( 2)中的ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把ADE沿着AE(AB)翻折180。两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三

16、角形全等。2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：画DAE45，在AD、AE上分别取 B、C，使 AB3。1cm， AC2。8cm。连结BC，得ABC。按上述画法再画一个ABC。(2)把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完全重合？3、边角边公理。有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1、填空：(1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB(已知)，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)。(2)如图4，已知A

17、BAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)。2、例1 已知： ADBC，AD CB(图3)。求证：ADCCBA。问题：如果把图3中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置(如图5)，那么要证明ADF CEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件(AF CE或AE CF)？怎样证明呢？例2 已知：ABAC、ADAE、12(图4)。求证：ABDACE。四、小 结：1、根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件。2、找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如

18、公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理。五、作 业：1、已知：如图，ABAC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：ABEACF。2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF。求证：ABECDF。12.2.3 三角形全等的条件（第三课时）教学目标 1、三角形全等的条件：角边角、角角边。 2、三角形全等条件小结。3。掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件。 4、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。教学重点 已知两角一边的三角形全等探究。教学难点灵活运用三角形全等条件证明。教学过程、提出问题，创设情境 1、复习：（1）三角形中已知三个元素，包

19、括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边。 （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？ 三种：定义；SSS；SAS。 2、在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？、导入新课 问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1、两角和它们的夹边。 2、两角和其中一角的对边。 问题2：三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？ 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等

20、。提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？ 先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长。 画线段AB，使AB=AB。 分别以A、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA。 射线AD与BE交于一点，记为C；即可得到ABC。 将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定。我

21、们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 探究问题4：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 证明：A+B+C=D+E+F=180 A=D，B=E A+B=D+E C=F 在ABC和DEF中 ABCDEF（ASA）。 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 例如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C。求证：AD=AE。 分析AD和AE分别在ADC和AEB中，所以要证AD=AE，只需证明ADCAEB即可。 证明：在ADC和AE

22、B中 所以ADCAEB（ASA） 所以AD=AE。、随堂练习 （一）课本41页练习1、2题。 （二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由。 答案：图（1）中由“ASA”可证得ACDACB。图（2）由“AAS”可证得ACEBDC。 。课时小结 至此，我们有五种判定三角形全等的方法： 1、全等三角形的定义 2、判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径。 、作业 课本习题12.2第5、6题。 板书设计 12。2。3 三角形全等的条件（三） 一、两角一边 二、三角形全等的条件 1。两角及

23、其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）2。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS） 12.2.3 三角形全等的条件（第四课时）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程。提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 2、如图，RtABC中，直角边是 、 ， 斜边是 3、如图，

24、ABBE于C，DEBE于E，（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）、导入新课（一）探索练习：（动手操作）： 已知线段a ，c (ac) 和一个直角 利用尺规作一个RtABC，使C=，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c 作MCN=90， 在射

25、线 CM上截取线段CB=a，以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A， 连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？ 3、从中你发现了什么？ 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）（二）巩固练习：1 如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2 如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，3 （1）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据 （2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据 （3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据 （4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则ACEBDF，根据 （5

26、） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则ACEBDF，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答： 理由： AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC= （垂直的定义）在Rt 和Rt 中 （ ） = （ ） （内错角相等，两直线平行） 5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长

27、的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。（三）提高练习：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）2、如图，D=C=90，请你再添加一个条件，使ABDBAC，并在添加的条件后的（ ）内

28、写出判定全等的依据。（1） （ ）（2） （ ）（3） （ ）（4） （ ）课时小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1、全等三角形的定义；2、边边边（SSS）； 3、边角边（SAS）；4、角边角（ASA）； 5、角角边（AAS）；、（仅用在直角三角形中）作业 1。课本习题12.2第7、8题。12.3 角的平分线的性质（第一课时）教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。 2、会用尺规作一个已知角的平分线。 教学重点 利用尺规作已知角的平分线。 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼。 教学过程 、提出问题，创设情境 问题1：三角形中有哪些重要线段。 问题2：你能作出这些线段吗

29、？ 、导入新课 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题： 在AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MCOA，NCOB。MC与NC交于C点。求证：MOC=NOC。 通过证明RtMOCRtNOC，即可证明MOC=NOC，所以射线OC就是AOB的平分线。 受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCOA，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了。 思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，

30、沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？ 要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB。 CAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。 看看条件够不够。 所以ABCADC（SSS）。 所以CAD=CAB。 即射线AC就是DAB的平分线。 作已知角的平分线的方法： 已知：AOB。求作：AOB的平分线。 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N。 （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧。两弧在AOB内部交于点C。（3）作射线OC，射线OC即为所求。 议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长

31、”这个条件行吗？ 2、第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？ 总结：1、去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。2、若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部，也可能在AOB的外部，而我们要找的是AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的平分线了。3、角的平分线是一条射线。它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可。4、这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。练一练：任意画一角AOB，作它的平分线。探索活动按以下步骤折纸1、 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A

32、对折，使得这个角的两边重合。2、 在折痕（即平分线）上任意找一点C，3、 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。4、 将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知AO平分BAC，OEAB，ODAC。求证：OE=OD。 、随堂练习 课本50页练习第1题。练后总结：平角AOB的平分线OC与直线AB垂直。将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直。课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步

33、探究到角平分线的性质。、课后作业1、课本习题12.3第1、2题。思考1 在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法。他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DEAB交AC于D，那么BD就是ABC的平分线。 有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来明理由。板书设计 12、3 角的平分线的性质 一、角平分线仪器的操作原理 二、角平分线的尺规画法： 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、

34、OB于M、N。 2、分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧。两弧在AOB内部交于C点。 3、连接OC，射线OC即为所求。 三、角平分线的性质。 12.3.2 角的平分线的性质（第二课时）教学目标 1、 角的平分线的性质 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。 3、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题。 教学重点 角平分线的性质及其应用。 教学难点 灵活应用两个性质解决问题。 教学过程 、创设情境，引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么

35、？ 分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的。这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对。 、导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论。 折出如图所示的折痕PD、PE。 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的。 结论：同学乙的画法是正确的。同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求。 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 生角平分线上的点到角的两边的

36、距离相等。 问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话。请填下表： 已知事项：OC平分AOB，PDOA，PEOB，D、E为垂足。 由已知事项推出的事项：PD=PE。于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 师那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 生讨论已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtPEOPDO（HL）。于是可得PDE=POD。 由已知推出的事项：点P在AOB的平分线上。 由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相

37、等的点在角的平分线上。这两个性质有什么联系吗？ 分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换。 思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 1、集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ 2、比例尺为1：20000是什么意思？ 结论：1、应该是用第二个性质。这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处。2、在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了。1m=1

38、00cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思。作图如下： 第一步：尺规作图法作出AOB的平分线OP。 第二步：在射线OP上截取OC=2。5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了。 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化。所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题。 III、例题与练习 例 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF。而BM

39、、CN分别是B、C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题。 证明：过点P作PDAB，PEBC，PFAC，垂足为D、E、F。 因为BM是ABC的角平分线，点P在BM上， 所以PD=PE。 同理PE=PF，所以PD=PE=PF。 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 练习：1、课本50页练习第2题。 强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等。 IV、课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上。它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了。像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等。 、课后作业 1、课本习题12.3第3、5题。