八年级数学竞赛培训第十二章全等三角形.doc

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1、 八年级数学竞赛培训 第十二章 全等三角形【例1】 如图，E=F=90，B=C，AEAF，给出下列结论：1=2；BE=CF；ACNABM；CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)【例2】 如图，ABC中，E、F分别是AB、AC上的点. AD平分BAC， DEAB， DFAC， ADEF.以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题， 即： ， ， .（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题.【例3】：如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC【例4】.如图，BD、CE分别是ABC的边

2、AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQ=AB ，试探究线段AQ与AP有什么关系？【例5】. 含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点.（1）求证：.（2）当时，找出与的数量关系，并加以说明.EBMACN【例6】. 经过顶点的一条直线，.分别是直线上两点，且.（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： 如图1，若， 则_；_（填“”，“”或“”）； 如图2，若，请添加一个关于与关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2） 如图3，若直线经过的外部，请提出三条线段数量关系

3、的合理猜想（不要求证明）. ABCEFDDABCEFADFCEB（图1）（图2）（图3） 八年级数学竞赛培训 第十二章 等腰直角三角形【例1】如图，在RtABC中，AC=BC，C=90,作A的平分线与BC边交于D， 求证：AB=AC+CD。 思路 注意运用“截长法”或“补短法”【例2】 已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF， 求证：DEF为等腰直角三角形.（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.【例3】 如图，和都是等腰直角三角形，三点在同

4、一直线上，连结，并延长交于.（1）求证：.（2）直线与互相垂直吗？请证明你的结论.【例4】. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结.（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：.图1图2DCEAB（第4题）【例5】. 如图，在等腰三角形ABC中，C90，D是斜边AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H，交AE于G，求证：BDCG. 【例6】 如图2-6所示A=90，AB=AC，M是AC边的中点，ADBM交BC于D，交BM于E求证：AMB=DMC 八年级数学竞

5、赛培训 第十二章 有趣的等边三角形 【例1】. 已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接，得到为等边三角形.求证：（1）； （2）为等边三角形.【例2】已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断GHK的形状【例3】如图甲，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，直线AN、MC交于E，直线BM、CN交于点F (1)求证：AN=BM； (2)求证：CEF是等边三角形； (3)将ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明) 【

6、例4】 已知：如图1-9，ABD和BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么BMN是等边三角形吗？说明理由【例5】 如图2-8-2，D为等边ABC的内部一点，DB=DA， BE=AB，DBE=DBC，求BED的度数。【例6】 如图2-8-4, P为等边ABC内任一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F。 求证：PD+PE+PF是定值。【例7】 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q。 求证：BP=2PQ。【例8】已知：如图1-15，ABC和ADE都是等边三角形B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由【例9】已

7、知：如图1-16，ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_AE+AB（填“”或“”或“”）【例10】如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CFa(1)E、F移动时，BEF的形状如何?(2)求BEF面积的最小值【例11】如图, P是等边ABC外的一点，APB=APC=60，求证：PA=PB+PC。【例12】如图2-11所示正三角形ABC中，P，Q，R分别为AB，AC，BC的中点，M为BC上任意一点(不同于R)，且PMS为正三角形求证：RM=QS【例13】如图

8、，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点 八年级数学竞赛培训 第十二章 角的平分的性质1.已知RtABC中，C=90，BAC=60，AD平分BAC，CD=2cm（1） 求B的度数及点D到AB的距离。（2） 求BC的长。21ENMDCBA2.如图，AC为MAN的平分线，CEAM于E，点B，D分别在AM，AN上，且1=2=1800,，（1） 求证：AB+AD=2AE（2） 若将条件“1=2=1800”与结论“AB+AD=2AE” 互换，结论还成立吗？请说明理由。3. 如图，在ABC中，AB=B

9、C=12cm，ABC=80，BD是ABC的平分线，DEBC. (1)求EDB的度数； (2)求DE的长.4. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图，在筝形ABCD中，ABAD，BC=DC，AC与BD相交于点O.(1)下列判断正确的有 （填序号）.AC.BD互相垂直 AC.BD互相平分AC平分BAD.BCD BD平分ABD.ADC (2)求证：ABCADC.5.如图：ACBC，BM平分ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC。求证：（1）MN平分AMB，（2）A=CBM。6.如图：在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F。求证：EB

10、=FC。7.如图：E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足为C，D。求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。9.如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高.求证：AD垂直平分EF.10.如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA平分BAC。11.已知：如图，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO求证：O在BAC的角平分线上练习一：选择题1已知RtABC中，C=900，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为【 】(A)18 (B)16 (c)14 (D)122如图，MPNP，MQ为NMP的角平分

11、线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是【 】 (A)TQ=PQ (B) MQT=MQP (c) QTN=900 (D) NQT=MQT3如图，ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、S若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正确的是【 】 (A) (B) (C) (D)4如图，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD任意一点到AB、AC的距离相等；ADBC且BD=CD； BDE=CDF其中正确的是【 】 (A) (B) (C)

12、 (D)第2题第3题第4题第5题 5(山东竞赛题)如图，在RtABC中，ACB=900，CAB=300，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于E点，则AEB=【 】(A)500 (B)450 (C)400 (D)3506. 如图，B、C的平分线相交于F，过点F作DEBC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：BDF、CEF都是等腰三角形； DE=BD+CE；ADE的周长为AB+AC； BD=CE；正确的是【 】A. B. C. D.7.如图，BAC与CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PGAD交AB于G，下列结论：BCP=CPG; GA=GP； PC=PB； BP垂直平分

13、CE其中正确的结论是_.（把正确结论的序号都填上）8如图，P是OAB的内角、外角平分线的交点，OA=AB，D为OB的中点，OP分别交AD、AB于点E、C，则下列结论：点P到OAB三边的距离相等；SOAC：SOBC=OA：OB=AC：BC；OPB+AOD=90；OE=BP. 其中结论正确的有：_ .（把正确结论的序号都填上，多填少填漏填不得分）AODEBPCMN(第8题)（第7题）ABCEHGPD第6题练习二：填空题1如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是 2 如图，

14、在ABC中，B=300，C=900，AD平分CAB，交CB于D，DEAB于E，则BDE= = 3如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则BPD= 4如图，已知ABCD，0为CAB、ACD的平分线的交点OEAC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于 5.如图，在ABC中，ABAC，A50，BD为ABC的平分线，则BDC .6如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个7如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等 练习三：解答题1如图

15、是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线说明它的道理2如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC求证：BE=CF3如图，C、D是AOB平分线上的点，CEOA于E，CFOB于F 求证：CDE=CDF4如图，ADDC，BCDC：，E是DC上一点，AE平分DAB (1)如果BE平分ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分ABC5如图，在ABC中，AB=BC=AC，ADBC于D，E、F分别为AB、AC中点求证：DA平分EDF6如图，ABC中，ABC=

16、1000，ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使CBD=200，连结DE求CED的度数7.如图，已知在ABC中，B=600,ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：（1）OE=OD （2）AE+CD=AC8如图，P是ABC的BAC的外角平分线上一点(1)求证：PB+PCAB+AC；(2)若P是ABC的BAC的平分线上一点且ACAB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系? 阅读理解专题1.阅读：EDCBA 我们知道：在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，则:因此可得到：DCBA应用： 如图，在ABC中，AD是它的角平分线.求证：（1） （2） （3

17、）若AB=5，AC=3，BC=6，求BD的长。探究：1. 如图：D、E、F分别是ABC的三条边上的点，CE=BF，DCF和DBF的面积相等，AECDFB 求证：AD平分BACBCDOA2.如图所示，在ABC中，A=900，AC=7，AB=24，BC=25，A与C的平分线相交于O，ODBC，求OD的长。2.阅读： 我们知道：在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，则:BAD=BCEEDCBA请完成它的证明。探究:OEDCBA1.在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，若ACD=450，求证：AB=CO2. 在ABC中，ACB=900，ABC=450，BD平分ABC,ADB

18、D,BD与AC相交于O，BCOAD求证：OB=2AD3.阅读理解：等腰直角三角形中，直角边a=b=1，怎样求斜边c1呢？如图(1)，我们可 以用4个这样的等腰直角三角形拼成一个以斜边c1为边长的正方形，则正方形的面积 为4=2，即c12=2，所以c1=.同理，如图(2)，当a=b=2时，用4个这样的等 腰直角三角形拼成一个以斜边c2为边长的正方形，则正方形的面积为4=8，（2）（1）（3）即c22=8，所以c2=2.探索归纳：等腰直角三角形中，如图(3)，当直角边a=b=3时，则c32=_，所以c3=_；那么当直角边a=b=4时，则c42=_，所以c4= _；当直角边a=b=n(n为正整数)时

19、，则cn=_.应用延伸：（1）如图，AOB=45，点P是AOB内一点，O、P两点距离为6，点P与P1关于OA对称，P与P2关于OB对称，连结O P2，O P1，P1 P2.（1）猜想O P1 P2的形状和线段P1 P2的长，并说明理由.（2）若M、N是OA、OB上的动点，请直接写出PMN的最小周长.（3）试求MPN的度数。（2）如图，AOB=30，点P是AOB内一点，O、P两点距离为6，点P与P1关于OA对称，P与P2关于OB对称，连结O P2，O P1，P1 P2.（1）猜想O P1 P2的形状和线段P1 P2的长，并说明理由.（2）若M、N是OA、OB上的动点，请直接写出PMN的最小周长.

20、BP1AOP2PMNP2PP1OAB（3）试求MPN的度数。全等三角形与坐标系例题：在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.1(12分)如图,ABC是等腰直角三角形，AC=AB，直角顶点A在x轴上，一锐角顶点B在y轴上（1）如图(1)，若点A的坐标是（2，0），点C的坐标是（-2，-2），CDx轴于点D 求证：OBADAC；求B点的坐标（2）如图(2)，若y轴恰好平分ABC，AC与y轴交与点E，过点C作CFy轴于F，问BE与CF有怎样的数量关系，并说明理由2

21、.如图，直线分别交x轴，y轴正半轴于A、B两点，A（a,0）,B(0,b)，且。（1）求A、B两点的坐标，并指出AOB的形状。（2）C是线段AB上一点，C点的横坐标为3，以OC为直角边的等腰RtCOE，求出E点坐标；（3） 若C是直线AB上一动点，连CO，将OC绕O顺时针方向旋转90到OD，求CAD的度数。3.如图所示，OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC.（1）写出C点的坐标；（2）如图所示，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点、PA为腰作等腰RtAPD,过D作DEx轴于E点，求OPDE的值；xACyOBGFHyxOAODPyx（

22、第24题）E（3）如图所示，已知点F的坐标为（2，2），当点G在y轴的负半轴沿负方向运动时，作RtFGH，始终保持GFH=90，FG与y轴负半轴交于点G（0，m）,FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴沿负方向运动时，以下两个结论：mn为定值；mn为定值.其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值. 4.如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点. OA、OB的长度分别为a和b，且满足 判断AOB的形状，并求其面积； 如图，过O点的直线与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM =9，BN =4，求MN的长；_Q_x_B

23、ABPDEO（第24题）AONM 如图，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角ADE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.5（12分）在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E（1）试问OBC与ABD全等吗？并证明你的结论 (2 ) 求线段AE的长6(12分)如图,直线AB分别与坐标轴交于A、B两点,过点B的直线与x轴交于点C，过A点作BC的垂线，交y轴于点E，垂足为DOA=OB=2OC=4(1)求A、B、C 三点的坐标并求ABC的面积；(2)试探究线段AE与BC的数量关系，并说明理由; (3)在y轴上是否存在点F，使得FDC的周长最小，若存在画出点F的位置；若不存在，请说明理由28