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1、1,随机变量、矢量和序列,2,主要内容,随机变量 统计值 常用分布随机矢量 随机矢量的线性变换 正态随机矢量 独立随机变量和离散随机过程,3,随机变量,定义3.1 随机变量x()是一个映射，这个映射为每个来自抽象概率空间的结果赋予一个实数x。该映射满足的如下条件：(1) 对于任一x，区间x()x为概率空间中的一个事件(2) Prx()=0,且Prx()=0,4,随机变量,随机变量映射示意图,抽象空间S,实数空间R,随机变量x(),1,x(1),2,x(2),3,x(3),4,x(4),5,分布密度与密度函数,分布函数(Cummulative distribution function, cdf
2、)概率密度函数(probability density function, pdf),6,分布密度与密度函数,对于离散的随机变量，采用概率质量函数(probability mass function, pmf)概率函数满足：,7,统计值,数学期望数学期望具有线性特征,8,统计值,矩(moments)特殊情况,9,统计值,中心矩特殊情况,10,统计值,方差与矩的关系:方差主要表征随机变量围绕中心值的分布（或散布）程度的度量倾斜度(skewness)：表明随机变量与中心分布的不对称程度。向右倾斜，其值为正，向左则其值为负。,11,统计值,峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦程
3、度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则小于0。,12,均值、方差、倾斜度和峰度示意,fx1(x),1,fx2(x),2,数学期望,fx1(x),fx2(x),方差,1,2,fx1(x),fx2(x),倾斜度,负,正,fx1(x),fx2(x),峰度,负,正,13,切比雪夫(Chebyshev)不等式,随机变量偏离其平均值k倍标准偏差的概率，小于或等于1/k2,与概率密度函数的具体形式无关：,14,特征函数,定义采用s代替将上式的j，得到矩的生成函数在 s=0处按泰勒级数展开，假设各阶矩存在,15,特征函数,从上式可知，只要随机变量的所以矩都
4、已知（且存在），那么可以求出生成函数，然后进行拉普拉斯反变换就可以确定密度函数通过生成函数对s的微分可以求出矩,16,累积量,累积量生成函数是矩的生成函数的自然对数用j代替s得到第二特征函数累积量为累积量生成函数的导数,17,累积量,零均值随机变量的前5个累积量为,18,常用分布均匀分布,概率密度函数pdf累积分布函数cdf,a,b,fx(x),x,19,常用分布均匀分布,特征函数均值与方差,a,b,fx(x),x,20,常用分布正态分布,概率密度函数pdf特征函数正态分布完全由均值和均方差决定，可表示为,21,常用分布正态分布,正态分布的所有高阶矩可用前两个矩来表示，换言之正态分布高于2阶的
5、矩并不能提供额外的信息。四阶中心矩为,22,常用分布柯西分布,概率密度函数pdf累积分布函数cdf柯西分布的均值为。但偏差、矩等不存在,23,MATLAB随机函数,采用rand函数模拟01均匀分布采用randn函数模拟高斯分布,24,MATLAB随机函数,x=-3.8:0.1:3.8;%随机高斯密度y1=randn(1,30000);z1=hist(y1,x)/(30000*0.1);bar(x,z1),xlabel(bar)%标准高斯密度y2=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2/2);hold on,plot(x,y2);hold off%均匀分布y3=rand(1,30000);z
6、3=hist(y3,x)/(30000*0.1);figure, bar(x,z3),xlabel(bar);,25,随机矢量,M维随机矢量分布函数和密度函数,26,随机矢量,边缘分布随机变量独立，则有,27,随机矢量,均值矢量自相关矩阵,28,随机矢量,随机矢量的协方差矩阵（二阶矩）协方差矩阵元素相关系数随机变量独立、正交，则,29,随机矢量,随机xi()、xj()不相关，则随机xi()、xj() 正交，则,30,随机矢量,设x()、y()分别是M和L维随机矢量，则这两个随机矢量的互相关矩阵为交叉协方差矩阵,31,随机矢量,若x()、y() 不相关，则若x()、y()正交，则,32,随机矢量
7、的线性变换,随机矢量x()、y() 存在如下关系fx(x)为x()的概率密度, y() 的概率密度为,33,随机矢量的线性变换,随机矢量x()、y() 的统计量关系,34,正态随机矢量,x()是M维的正态随机矢量，则正定二次型为特征函数为,35,独立随机变量和,y()是M个随机变量的和，即y()的均值为,36,独立随机变量和,应用独立性质，则y()的方差怎么求y()的概率密度函数pdf？,37,独立随机变量和,先来看两个特殊的情况：情况一：对应的特征函数为：,38,独立随机变量和,对应的特征函数为：根据傅立叶卷积性质，则概率密度为,39,独立随机变量和,对应的第二特征函数为：m阶累积量为,40
8、,独立随机变量和,例3.2.1 设xk()(k=1,2,3,4)是4个独立、具有相同分布的随机变量，在-0.5,0.5上均匀分布。试计算M=2,3,4时，y()的概率密度函数,41,独立随机变量和,f(x)为随机变量xk()的概率密度函数，则当M=2时，y()的概率密度函数为,42,独立随机变量和,当M=3时，y()的概率密度函数为,43,独立随机变量和,当M=4时，y()的概率密度函数为,44,当M=1，2，3，4时，y()的概率密度函数图形,M=1,-0.5,0.5,M=2,-1,1,M=3,-1.5,1.5,M=3,-2,2,0.75,1,1,0.67,45,独立随机变量和,情况二：对应
9、的特征函数为：,46,独立随机变量和,根据傅立叶卷积性质，则概率密度为,47,独立随机变量和,对应的第二特征函数为：m阶累积量为,48,独立随机变量和,综合上述两种情况 的特征函数为m阶累积量为,49,独立随机变量和,所以 的概率密度函数为,50,独立随机变量和,根据卷积的性质，独立、分布相同的随机变量的和仍然保持为原有的分布有：（1）有限方差：高斯随机变量（2）无限方差：柯西随机变量 从上述例子可以看出，高斯与柯西分布都具有不变性。,51,独立随机变量和,这种不变性的随机变量具有相同的特征函数形式： 从不变性，我们引出“稳定分布”概念。,52,稳定分布,定义： x1(), x2(), xM(
10、)为独立、相同分布的随机变量，分布函数为Fx(x), sM()=x1()+x2()+ xM()。如果对于每一个M，存在常数aM0,且有bM使得下式成立并且Fx(x)不是集中在一个点上。当bM=0时，我们称为严格稳定。,53,稳定分布,可以证明，对任何稳定的随机变量 x (), 存在一个常数（02 ），使得aM=M 1/ 。其中称为稳定性指标或特征指数。可以称该随机变量稳定。,54,稳定分布,中心极限定理(CLT) 若随机 x1(), x2(), xM(): (a)相互独立,(b) 具有相同的分布, (c)各随机变量的均值与方差都存在且有限；那么当M时，归一化的随机变量和的分布就趋于一个零均值、
11、单位标准偏差的正态随机分布。其中，归一化的随机变量和为：,55,例子,M=1,-0.5,0.5,M=2,-1,1,M=3,-1.5,1.5,M=3,-2,2,0.75,1,1,0.67,56,离散时间随机过程,存在一个随机变量序列x (n,), n为离散时间，为随机变量。如果n固定，则可以把x (n,) 视为一个随机变量。如果固定，则可以把x (n,) 视为一个样本序列或一个实现。如果n、 都固定，那么x (n,)为一个数。如果n、 都变化，那么x (n,)为一个随机过程。,57,离散时间随机过程,随机过程,抽象空间S,1,x(n,1),2,x(n,2),3,x(n,3),4,x(n,4),n
12、,n,n,n,x(n0,),58,离散时间随机过程,随机过程x (n,)独立, 则随机过程不相关，则随机过程正交，则,59,随机过程平稳性,如果随机过程x (n)与x (n+k)统计量相等, 则该随机过程为平稳。定义：随机过程x (n)若满足下式，则称为N阶平稳其中k为任意值。如果对所有的阶N=1,2,都是平稳的，则称该随机过程为严格意义上的平稳。在实际应用中，通常满足直到二阶平稳，称为广义平稳性。,60,随机过程平稳性,广义平稳：（1）数学期望不依赖n的常数,即Ex(n)=x（2）方差也是不依赖n的常数,即varx(n)=x2（3）自相关系数仅仅依赖长度l=n1-n2rx(n1,n2)= rx(n1-n2) =rx(l),
