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1、第五讲二次根式,一、二次根式的相关概念1.二次根式:一般地,形如 (_)的式子.2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_.(2)被开方数中不含能开得尽方的_.,a0,字母,因数或因式,二、二次根式的性质,a,三、二次根式的运算1.二次根式的加减:先将各根式化为_,然后合并被开方数_的二次根式.,最简二次根式,相同,2.二次根式的乘除: =_(a0,b0); =_(a0,b0).,3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算_,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).,乘除,考点一 二次根式有意义的条件【典例1】(1)(2016自贡中考)若代数式 有意义,则x的
2、取值范围是_.(2)(2015攀枝花中考)若y= 则xy=_,【思路点拨】(1)根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数及分母不等于零来解答.(2)根据二次根式有意义的条件,解出x的值,再求出y的值,最后求代数式的值.,【自主解答】(1)根据二次根式的性质可知:x-10,所以x1,又因为分式的分母不能为0,所以x0,故x的取值范围是x1.答案:x1,(2)由题意可知,x-30,且3-x0,x-3=0,解得,x=3,y=2,xy=32=9.答案:9,【名师点津】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的被开方数都必须是非负
3、数.,(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.,【题组过关】1.(2016宁波中考)使二次根式 有意义的x的取值范围是()A.x1 B.x1 C.x1 D.x1【解析】选D.由题意得,x-10,解得x1.,2.(2015滨州中考)如果式子 有意义,那么x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是(),【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+60,解得x-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心圆点.,3.(2014南通中考)若 在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x B.x- C.x D.x,【解析】选C.由题意得 解得x,考点二 二次根式的性
4、质及其应用【典例2】(1)(2015荆门中考)当1a2时,代数式 +|1-a|的值是()A.-1 B.1 C.2a-3 D.3-2a,(2)(2016自贡中考)若 +b2-4b+4=0,则ab的值等于()A.-2 B.0 C.1 D.2,【思路点拨】(1)先应用 =|a|性质化简,再根据a的范围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算.(2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b的值,代入代数式进行计算.,【自主解答】(1)选B.因为1a2,所以a-20,1-a0.所以原式=2-a+a-1=1.(2)选D.由 +b2-4b+4=0,得a-1=0,b-2=0.解得a=1,b=2.ab=2
5、.,【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题(1) (a0)的双重非负性:被开方数a非负; 本身非负.,(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时, =( )2.,【题组过关】1.(2016潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b,【解析】选A.由题干图知:a0,a-b0,则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.,2.(2015资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则2b2-4b-a的值为_.【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和b2-2b=3,
6、进而可求出2b2-4b-a的值.,【解析】根据题意得,a+6=0,b2-2b-3=0,所以a=-6,b2-2b=3,所以2b2-4b-a=2(b2-2b)-a=23+6=12.答案:12,考点三 二次根式的运算【考情分析】二次根式的运算的层级为了解法则并会应用法则进行计算,在各地中考试题中均有体现,是二次根式的一个重要考向,考查的方式一是二次根式的化简求值及,混合运算,二是与实数的性质、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值结合一起考查,各种题型均有体现.,命题角度1:二次根式的化简及乘除【典例3】(2016聊城中考)计算: =_.,【思路点拨】把 化成最简二次根式,再应用二次根式的运算顺序及
7、法则运算.,【自主解答】原式= 答案:12,【母题变式】(改变问法)计算 的结果与原题相同吗?提示:相同.,命题角度2:应用乘法公式计算二次根式的值【典例4】(2015聊城中考)计算: =_.【思路点拨】应用完全平方公式展开后,合并同类二次根式即可.,【自主解答】 答案:5,【母题变式】(改变条件)(2015临沂中考)计算: 提示:找出公式中的a,b的值,代入平方差公式计算,再应用完全平方式计算:因为,命题角度3:二次根式的混合运算【典例5】(2015包头中考)计算: =_.【思路点拨】应用乘法分配律计算.,【自主解答】原式= 答案:8,【母题变式】(改变条件)计算: 提示:转化为乘法后再计算
8、,原式=,命题角度4:二次根式与其他知识的综合考查【典例6】(1)(2016东营中考)计算: +(-3.14)0-2sin60- +|1-3 |.(2)(2015荆门中考)先化简,再求值: 其中a=1+ ,b=1- .,【思路点拨】(1)根据绝对值、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值、开立方等计算.(2)先根据分式混合运算的法则进行化简,再把a,b的值代入计算.,【自主解答】(1)原式= (2)原式=,【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, (a0,b0), (a0,b0),利用这两个等式可以化简二次根式.,(2)运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时
9、,二次根式的结果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数).(3)在二次根式的运算或化简过程中,乘法公式、因式分解等相关法则、方法均可使用.,【题组过关】1.(2016自贡中考)下列根式中,不是最简二次根式的是() 【解析】选B.,2.(2016南充中考)下列计算正确的是(),【解析】选A.A、 正确;B、 故此选项错误;C、 故此选项错误;D、 故此选项错误.,3.(2015凉山州中考)下列根式中,不能与 合并的是(),【解析】选C.A. 是同类二次根式，能与合并；B. 是同类二次根式，能与 合并；C. 不是同类二次根式，不能与 合并；D. 是同类二次根式，能与 合并.,4.(2016德州中考
10、)化简 的结果为_.【解析】 答案:,5.(2016青岛中考)计算: =_.【解析】 答案:2,6.(2016淄博中考)若x=3- ,则代数式x2-6x+9的值为_.【解析】x2-6x+9=(x-3)2,当x=3- 时,原式=(3- -3)2=2.答案:2,【方法技巧】二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式,简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.,7.(2016泰州中考)计算或化简: 【解析】,【变式训练】(2015哈尔滨中考)计算 =_.【解析】原式= 答案:,8.(2015成都中考)计算: -(2015-)0-4cos 45+(-3)2.【解析】原式=2 -1-2 +9=8.,【变式训练】(2015泸州中考)计算: sin 45-20150+2-1.【解析】原式=,9.(2015黔南州中考)已知:x=2sin 60,先化简 再求它的值.,【解析】原式,
