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1、数量关系 ,第一章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,向量与空间解析几何,四、空间直线方程,一、空间直角坐标系,二、向量及其运算,三、空间平面方程,五、曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,六、曲线方程,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,坐标轴 :,坐标面 :
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两点间的距离公式:,记作:,模 :,向量的大小,二、向量,1.向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,单位向量:,模为 1 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平行向量:,2、向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量的减法,3. 向量与数的乘法,规定 :,总之:,运算律 :,结合律,分配律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 向量的坐标表示,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,设点 M的坐标为,机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束,沿三个坐标轴方向的投影.,5、向量运算的坐标表示,设,则,(4) 平行向量对应坐标成比例:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),(2),(3) 设点,则向量,6. 向量的方向余弦,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的夹角:,注:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7、向量的数量积,(1) 定义:,(点积),机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例,(2) 性质,(3) 运算律,交换律,结合律,分配律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求与两点,等距离的点轨迹.,解: 设该点为,解得,及,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束,（垂直平分面）,例2. 已知两点,和,解:,求,例3. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因,例5. 设,求其在 x 轴上的投影及在 y,轴上的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且垂直于非零向量,的平面的方程为,法向量.,三、平面方程,1、点法式方程,2、一般式方程,注：,(1) D = 0,平面过原点；,(2) A = 0,(3) A = 0，B = 0,平面平行于xoy面；,平面平行于x轴；,(4) A = 0，D = 0,平面过x轴
5、.,例1. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,例2. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且平行于非零向量,的直线 l 的方程为,2、点向式方程,3、参数式方程,注:,机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例1. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求过,解: 令交点为,由于,从而L方程为,则L方向向量为,且与直线,垂直相交的直线L方程.,所以,故,得,则交点为,又,五、曲面方程,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,机动 目录 上
7、页 下页 返回 结束,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,例1. 求动点到定点,距离为 R 的轨迹方程.,解: 设轨迹上动点为,(球面),(一) 曲面定义,(二)柱面,引例. 分析方程,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.,过此点作,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,在圆C上任取一点,定义2.,平行定直线并沿定曲线 C
8、 移动的直线,l 形成的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,如,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,表示母线平行于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3. 一条平面曲线,(三)旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,给定yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,例1. 试求yoz面上
9、直线,所得曲面方程.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕z轴旋转一周,-圆锥面,例2. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(双叶),(单叶),注： 常见二次曲面,(1),（球面）,(2),(3),(5),(4),（椭球面）,（锥面）,（旋转抛物面）,（圆柱面）,作图：(1),所围成的曲面，,(2),所围成的曲面，,六、空间曲线,1. 一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、空间曲线,(一)曲线方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.参数方程,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)曲线在坐标面的投影,在 xoy 面上的投影曲线,如,所围圆域:,
