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1、琴生不等式的高维推广李世杰 吴光耀(衢州市教育局教研室 浙江 324002 )单保良(衢州职业技术学院，浙江 324000 ) 摘 要：将琴生(Jensen)不等式作了高维推广，并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式，它们是算术几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广. 关键词：琴生不等式，函数不等式，高维推广.Higher Dimensional Generalization of Jensen InequalityLi Shijie Wu Guangyao（Department of Teaching Research，Quzhou Education Committee，Zhe
2、jiang， 324002，China）Dan Baoliang（Quzhou College of Vocational Techuology，Zhejiang， 324000，China）Abstract：The higher dimensional generalization of Jensen inequality is established. As by-products, a series of different function inequalities on m-dimensional space is obtained which extend the A-G mean
3、 inequality and Cauchys inequality. Key words：Jensen inequality； function inequality；higher dimensional generalization1引言1905年，丹麦数学家琴生（Jensen ，18591925）证明了如下著名的琴生不等式1：设f (x)是定义在实数集M上的函数，且对任意的xl、x2 M，都有 ， (1.1)则对任意的xi M（i = 1，2，n），有 ， (1.2)在文2中，李世杰证明了如下的“母”函数不等式：设f (x)的定义域为 M（M为a，b，或（a，b），或无穷区间），(x)是
4、 M上的连续函数，且存在反函数若对任意的xl、x2 M，都有 ， (1.3)则对任意的xi M（i = 1，2，n），有 ， (1.4) 若 (1.3) 中等式成立的条件是x1=x2，则 (1.4) 中等式成立的条件是 x1= x2 = =xn本文下面先给出不等式 (1.4) 的一个高维推广，为方便计，引入下列记号:设M = M1M2Mm（Mi为 ai，bi，或（ai，bi），或无穷区间，m1）. 特别地， 收稿日期：作者简介：李世杰， (1960-)，男，浙江东阳人，汉,中学高级教师，理学士, 研究方向：解析不等式及数学教学若Mi = R+ = ，i = 1，2，m，则M记作. 对于，表示m
5、维向量:其它符号意义依次类推.2主要结论定理1 设f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，m若对X1、X2M，和常数，都有， 且 ， (2.1)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ，n2 )，都有 (2.2)这里p是满足的整数，(2.2)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn下面用反向数学归纳法证明这一不等式.证明 首先证明n =2 p ( pN，p2 ) 时，结论成立.当n = 2时，由 (2.1) 及其等式成立的条件知结论成立.假设n =2 k ( kN，k2 ) 时，结论成立，即对 XiM ()，有 ， (2.3)等式成
6、立的条件是X1=X2 = =. 则对Xi M ( )，有 ， (2.4)等式成立的条件是 又根据n = 2时的结论，在 (2.1) 中作置换，可得+即+， (2.5)等式成立的条件是，.联合(2.3)、(2.4)、(2.5)得 (2.6)等式成立的条件是 ，由于存在反函数，必一一对应，故由上面方程组可推得不等式 (2.6)中等式成立的条件是X1=X 2 = =因此对n =2 p ( pN，p2 )结论恒成立.当时，前面已证成立结论: (2.7)当时，取Xn+1=Xn +2 = ，则Xn+1=Xn +2 = ，代入（2.7）式化简后即可得到（2.2）式.综上，我们就证明了不等式（2.2）结论对n
7、2恒成立. 定理2 设f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，m若对X1、X2M和常数，都有，且 ， (2.8)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ，n2 )，有 (2.9)这里p是满足的整数，(2.9)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 与定理1相似，首先证明n =2 p ( pN，p2 ) 时结论成立，再如对(2.7)式取特值，即可获证，过程略去.定理3 设f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，m若对X1、X2M，和常数，都有，且 ， 等式成立的条件是X1X
8、2. 则对任意的XiM ( ，n2 )，有 这里p是满足的整数，等式成立的条件是X1=X2 =Xn证明 与定理1相似，略.3应用定理4 设f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，m若对X1、X2M，都有 ， （3.1）等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ，n2 )，都有 (3.2)等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 在定理1中，取，由于i (x)是定义在 Mi上的连续函数，必有故由定理1即可得定理4中结论.定理5 设f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，m若对X1
9、、X2M，都有 ， (3.3)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ，n2 )，有 (3.4)这里p是满足的整数，(3.4)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 同定理4证明过程，在定理2中取即可得证.取i (x)= x，定理5就变成琴生（ Jensen）不等式（1.2）.定理6 （均值型函数不等式）设f (X)的定义域为，若对任意的X1、X2，都有， （3.5）等式成立的条件是X1X2. 则对于Xi ( ，n2 )，有， (3.6)等式成立的条件是X1X2 = Xn. 证明 在定理5中令，, 则代入定理5中(3.3)(3.4)式即可得(3.5)(3.6).注 在定理6中若令，
10、由于对正数，由于不等式恒成立，定理6就变为算术几何平均值不等式：，同理，若再令，由著名的柯西（Cauchy）不等式可得其推广形式取，得文3中证明的新的函数不等式.定理1和定理2中的函数不等式是m维空间某些函数不等式的一个共同来源，我们可把它们称为高维的“母”函数不等式.由它们我们还可得到乘积型、方幂型函数不等式等，限于篇幅，这些结果就不再一一列出了. 参考文献1匡继昌.常用不等式（第三版）.山东科学技术出版社，2004年1月.P348-380.2李世杰.一个重要的“母”函数不等式 J.抚州师专学报，1999（3）：3740.3黄仁寿.一个新的函数不等式J.数学通讯，1993（6）：23.4CO
11、NSTANTIN P, Convexity According to the geometric meanJ.Mathematical Inequalities Applications ,2000,(2):155-167.5李世杰.凸函数Jensen不等式的一个推广及应用J.江西:抚州师专学报（自然科学版）,1988,(3):3037.作者简介：李世杰， 1960年12月生，男，浙江省东阳人，中学高级教师，理学士，1983年毕业于杭州大学数学系 现为浙江省数学学会理事，浙江省中数会常务理事，衢州市数学会秘书长，学术委员会主任，衢州市中数会副理事长，中国不等式研究小组成员.研究方向：解析不等式及数学教学.详细通讯地址: 324002 浙江省衢州市教育局教研室 李世杰联系电话: 0570-8602615(小灵通)，电子邮箱: lsjie123 ，
