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1、2022年12月20日星期二,让理想的雄鹰展翅高飞！,直线与平面所成的角,复习引入,1直线与平面垂直的定义,如果直线l与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.,2直线与平面垂直的判定定理,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,新 课 引 入,思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度呢？,引课,我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?,直线与平面所成的角,如图,点Q是是点P到平面的垂线段,过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；,
2、这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。,一.斜线在平面内的射影,.垂线、斜线、射影,()垂线,点P在平面 内的射影,线段PQ,垂线段的长叫这点到这个平面的距离。,（2）斜线,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。,从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段,P,R,说明：平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条,思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？,P,R,Q,S,T,如图：是斜线AC在内的射影，线段BC是,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平
3、面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影,()射影,直线BC,斜线段AC在内的射影,A,C,B,F,E,说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？,直线和平面所成的角：,斜线和射影所成的锐角叫做 这条直线和平面所成的角。,斜线,斜足,射影,规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角,直线和平面所成角的范围是0，90,3、如何作出直线与平面所成的角?,过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂线,则斜足与垂足之
4、间的连线AO与直线PA之间所成的锐角(直角或零角)就是直线与平面所成的角.,前面还学过一个什么角?它的范围是什么?,两条异面直线所成的角,(00,900,P,A,O,直线与平面所成角,斜线与平面所成角,2、注意:,最小角定理,l是平面 的斜线，A是l上任意一点， AOa ，O是垂足，OB是斜线l的射影，1是斜线l与平面 所成的角.BC是a内任意直线，则,斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。,例1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 (1) 直线A1B与平面ABCD所成的角; (2)直线A1B与平面BCC1B1所成的角; (3)直线BD1与平面A
5、D1所成的角的正切值.,例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求(4)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,O,例2、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PD BC,三角形PCD为等边三角形(1)求证：BC平面PCD(2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值,D,例3、三棱锥P-ABC中， PA底面ABC ，PA=PB，ABC=60, BCA=90,D为PB中点 ，（1）求证：BC 平面PAC（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值。,例3、三棱锥P-ABC中， PA底面ABC ，PA=AB，ABC=60, BCA=90,D为PB中点 ，（1）求证：BC 平面PAC（2）求直
6、线AD与平面PAC所成角的正弦值。,D,例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上,已知：BAC在平面内,点P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分别是E、F、O,PE=PF.,分析: 要证BAO=CAO,P,O,F,求证:BAO=CAO,只须证OE=OF,OEAB,OFAC,E,若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上,结论：,过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线,C,A,O,B,则CO在平面AOB内的射影E为角AOB的平分线,E,F,G,例2 如图，AB为平面的一条斜线，
7、B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.,如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？,BAD BAC,E,解：作BOAD于O，BEAC于E， 则 BDBEsinBADsinBAC,思考1,o,4、求斜线与平面所成的角一般步骤（1）作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。（2）证.证明某平面角就是斜线和平面所成的角。（3）算.通常在垂线段，斜线段和射影所组成的
8、直角三角形中计算。 (4)答,关键：确定斜线在平面内的射影.,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的垂心,D,O,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的内心,O,E,F,典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O,(1)P到三顶点距离相等,(3)P到三边AB、BC、AC距离相等,(2)侧棱两两垂直,外,垂,内,例：四面体P-ABC中，,若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直,O是垂心,
