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1、第三章第二、三讲,本章共3讲,固体物理学,晶格振动的量子化 声子声子的概念声子的性质长波近似长光学波和长声学波晶格振动的热容理论热容的经典理论热容的晶格振动理论,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,本讲内容,晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，其结果表现为晶格中的格波。 一般而言，格波不一定是简谐波，当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的模式。 每一独立模式对应一个振动态(q) 。 可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。 声子晶格振动中的独立简谐振子的能量量子
2、。,3.2.1 声子概念的由来,3.2 晶格振动的量子化 声子,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,3.2.2 格波能量量子化,1. 三维晶格振动能量,原胞（ N个）内含1个原子系统的三维晶格振动具有3N个独立谐振子 ； 晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含N个原胞的晶体振动能量为3N个格波能量之和； 在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总振动能量等于3N个简谐振子的能量之和。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的能量Esn为,2. 格波能量量子化,说明：晶格振动的能
3、量是量子化的，晶格振动的能量量子s称为声子。,则晶格总能量E为,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,n为量子数，n=0对应基态,3. 声子的性质,对于电磁波，爱因斯坦引入了“光子” 的概念。光子是传递电磁相互作用的媒介粒子，带电粒子通过发射或吸收光子而相互作用。 一个光子的能量为 =hv。,光子,光子能量的多少与波长相关, 波长越短, 能量越高。当一个光子被原子吸收时,就有一个电子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道,具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量，E=mc2，由于光子无法静止，所以其静止质量为0。,第三章
4、 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,(1) 声子的粒子性,声子具有能量和动量。若格波频率为，波矢为q ，则声子的能量为 ，动量为q。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量和动量q的粒子一样。,准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量； 系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为Ei的状态用出现的几率来表示。,(2) 声子的准粒子性,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,可以将晶体的晶格振动与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程
5、，比如将晶格振动和电磁辐射的作用看成是光子和声子的相互作用，将晶格振动和中子的激发所产生的相互作用看成是声子与中子的碰撞过程，这样会使问题大大简化，得出的结论也正确。,(3) 声子概念的意义,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,3. 晶体的温度,声子是玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计，在独立近似下也服从玻尔兹曼统计，即具有能量,的声子的平均数为：,玻色子是指自旋为整数的粒子。符合玻色-爱因斯坦统计：由全同玻色子组成的孤立系统，处于热平衡时，分布在能级i的粒子数为：,各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？不考虑声子间
6、的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色-爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,当T=0K时, n()=0, 说明只有T0K时才有声子；,意义,当温度一定时，频率低的格波的声子数多于频率高的格波的声子数。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,3.3 长波近似,晶格中的光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动，光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动。,晶格中的声学波中，相邻原子都沿同一方向振动，声学波代表原胞质心的振动。, 波长很长的光学波：长光学波 波长很长的声学波：长声学波
7、,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,波长很长的声学波,3.3.1 长声学波,此时的声学波称为长声学波，其波速为,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,与宏观弹性波的波动方程,相同。,当长声学波比原胞线度大的多时，在半个波长内就已经包括了许多原胞，这些原胞都整体地沿同一方向运动。而固体弹性理论中所述的宏观质点运动正是由这些原子整体运动所构成的。,一维复式格子中的长声学波就是弹性波，故对于长声学波来说，晶格可以看做是连续的介质。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,我们考虑由正、负离子
8、所组成的一维复式格子。,波长很长的光学波,3.3.2 长光学波,当波长比原胞的线度大得很多时，相邻的同一种离子的位移趋于相同。在半个波长的范围内,正离子所组成的一些布喇菲原胞同向移动，而负离子所组成的另一些布喇菲原胞则反向移动。,结果使得电荷不再均匀分布，晶体在宏观上产生极化现象，所以长光学波又称极化波。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,正、负离子的相对位移会引起宏观电场的产生。,长光学波对离子晶体性能的影响,E代表宏观场，0是自由空间的介电系数，P代表极化强度。,离子晶体的极化由两部分构成：一部分是正负离子的相对位移产生的电偶极距，称为离子位移极化，
9、极化强度记为Pa；另一部分是离子本身的电子云在有效场作用下，其中心偏离原子核而形成了电偶极子，这部分称为电子位移极化，极化强度记为Pe。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,固体热容的经典理论杜隆-珀替定律,根据经典理论的能量均分定理，每一个自由度的平均能量为kBT，其中kBT/2是平均动能，kBT/2是平均势能。,按热容定义,3.3 晶格振动的热容理论 固体比热容,如果固体中有N个原子，则总平均能量为E=3NkBT。,固体是热容是一个与温度和材料性质无关的常数，这就是杜隆-珀替定律。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理
10、论,对于双原子的固体化合物，1mol中的原子数为2N，故摩尔热容为,对于三原子的固体化合物，1mol中的原子数为3N，故摩尔热容为,杜隆珀替定律在高温时与实验结果很吻合。但在低温时，CV 的实验值并不是一个恒量，在T0时，CvT3。,杜隆珀替定律的困难,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,根据量子理论，晶格振动的能量是量子化的，频率为i的格波的振动能量为,其中i/2代表零振动能，ni为n个声子携带的热振动能。,3.4.1 固体热容的量子理论-晶格振动理论,根据玻耳兹曼统计理论，在温度T时，频率为i的振动的平均能量为：,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二
11、三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,所以，固体的比热容为,与经典热容理论的比较,高温极限情况,高温极限情况下，kBTi， i /kBT1，,所以具有N个原子的热容为3NkB，与经典理论值一致，说明在高温时杜隆-珀替定律成立。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,当T0时，振子对比热容的贡献非常小。根据量子理论，晶体的比热容将趋于0。从物理上来看，由于振动能级是量子化的，在kBTi时，振动就被冻结在基态，很难被激发，因而对比热容的贡献趋向于零。,低温极限情况,低温极限情况下，kBTi，i/kBT 很大 ，可以忽略分母中的1，故,第三章 晶格振动和晶体的热学性
12、质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,N个原子的晶体中有3N个自由度(频率)，平均能量为,其中m表示最大的角频率，则平均能量可以写成,3.4.2 频率分布函数,则热容可以表示成,设()d表示角频率在和+d之间的格波数,且,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,爱因斯坦模型假定晶体中各原子的振动是相互独立的,且所有原子的振动都有相同的频率。,1. 爱因斯坦模型,则热容可以表示成,N个原子的晶体中有3N个频率为的振动，在不考虑零点振动能的情况下，晶体的平均能量为,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,则热容可以表示成,在
13、固体物理学中，常用爱因斯坦温度E代替频率，即,高温情况,高温情况下，由于E/T 1，令x=E/T，则,此时，cV3NkB，与固体比热容的经验定律杜隆-珀替定律相符。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,低温情况,低温情况下，由于E/T 1，令eE/T1，则,实际上，在极低温度时，cVT3，上式得到的cV则比T3更快地趋近于零，说明爱因斯坦模型在低温下与事实不符。,存在这种不符的原因是爱因斯坦把每个原子当作一个三维的独立简谐振子，围绕平衡点振动。但事实上每个原子同近邻原子之间存在一定联系，这种联系在低温下尤其显著。爱因斯坦模型把晶体中各原子看做是具有相同振动
14、频率的谐振子是一种过于简化的假设。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,德拜模型把布喇菲晶格看做是各向同性的连续介质，而把所有格波看做是连续介质中传播的波速相等的弹性波。,2. 德拜模型,式中，D德拜温度，D=m/kB； =/kBT。,按照德拜模型，晶体的热容可以表示成,按照德拜理论，某种晶体的比热容特征完全由它的德拜温度确定。,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,高温情况下，TD，晶体的比热容趋于经典极限,即在极低温度下，比热容和温度T3成正比，这个关系式与实验相符合，称为德拜定律。温度越低，德拜近似越好。,低温情况下，TD，晶体的比热容为,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,第二三讲声子长波近似晶格振动的热容理论,
