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1、第一章,二、函数的极限,第二节,极限的概念,一、数列的极限,一、数列的极限,定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，将其对应的函数值排成一列，,一些数列的例子,1. 数列极限的定义,这样的一列数,称为一个数列，,数列中的每一个数称为数列的项，,例如,随着,的增大，,越来越小，,且当,无限增大时，,可以任意小!,趋势?,问：,如果不存在这样的常数A,其中,或,定义1 设数列,A是一常数，,(不论它多么小),使得对于,时的一切,都成立,是数列,的极限,记为,如果对于任意给定,总存在正整数,那么就称常,或者称数列,是发散的.,就说数列没有极限,称数列,例1,证,所以,习题,用定义证明数列极限时
2、,去证满足条件的正整数,的存在性.,关键是对于任意给定的,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,2. 数列极限与子列极限的关系,这样得到,定理1(收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的,证,证毕,任一子数列也收敛且极限相同,定理 (收敛子数列与数列间的关系）对于数列,若,证 明：,证,证毕,二、函数的极限,1.自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大的三种情况 :,定义2.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称,时的极限,记作,常数A 为函数,对应的函数值,无限接近于某个确定的数,趋于无穷大时的极限.,自变量趋向无穷大的其余两种情况 :,例3 用定义证明,证:,取,因此,就有
3、,故,欲使,即,2.自变量趋于有限值时函数的极限,若函数,在点,的某个去心邻域内有定义,当,自变量,时,若对应的函数值,无限接近于,某个确定的常数,则称,为函数,在,时的极限.,定义5.设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,使得当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,若,记作,使当,时, 有,的几何意义:,那么就证明了,的存在性,也就证明了极限的存在.,用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的,寻找满足条件的正数,如果找到了这样的,例6,单侧极限:,右极限,左极限,左右极限存在但不相等,例6,证,作 业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.,思考题解答,（等
4、价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,练 习 题,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥
5、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,
