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1、,2.3.1平面向量基本定理,第二章 2.3平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一平面向量基本定理,1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数1，2，使a1e12e2.2.基底： 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.,不
2、共线,任意,有且只有一对,不共线,所有,知识点二两向量的夹角与垂直,1.夹角：已知两个 a和b，作 a， b，则 (0180)叫做向量a与b的夹角(如图所示).,非零向量,AOB,当0时，a与b ；当180时，a与b .2.垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.,同向,反向,思考如何正确理解两向量夹角概念,答案(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直.,4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.(),1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.(),思考辨
3、析 判断正误,SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU,提示只有不共线的两个向量才可以作为基底.,2.零向量可以作为基向量.(),提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量.,3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(),提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.,2,题型探究,PART TWO,题型一对基底概念的理解,例1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是A.e1e2和e1e2 B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2 D.e1和e1e2,解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2
4、与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.,反思感悟,考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.,跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是A.e1e2，e2e1B.2e1e2，e1 e2C.2e23e1，6e14e2D.e1e2，e13e2,选项C中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.,解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2
5、，e2e1为共线向量；,题型二用基底表示向量,解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，,引申探究,解取CF的中点G，连接EG.E，G分别为BC，CF的中点，,反思感悟,将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.,题型三向量的夹角,例3已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.,以OA，OB为邻边作OACB，,因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b
6、|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角30，所以90.,反思感悟,(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1，2是非零常数)的夹角为0，当120时，0.,A.30 B.60 C.120 D.150,解析如图，,所以ABC60，所以BAD120.,平面向量基本定理的应用,核心素养之数学运算,HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN,素养评析,1.利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数1
7、，2的唯一性.2.本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核心素养.,3,达标检测,PART THREE,1.给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为A. B. C. D.,1,2,3,4,5,2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：,1,2,3,4,5,其中可作为该平面内所有向量的基底的是A. B. C. D.,中两向量不共线，故选B.,解析向量e1，e2不共线，,3.已知向
8、量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.,1,2,3,4,5,15,12,1,2,3,4,5,5.在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以,1,2,3,4,5,因为D，E，F依次是边AB的四等分点，,课堂小结,KE TANG XIAO JIE,1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.,
