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1、1,14 结构的稳定计算,2,16.1 两类稳定问题概述,结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象称失稳破坏，其相应的荷载称为结构的临界荷载。压杆的实际承载能力应为上述两种平衡荷载中的最小者。,3,所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。,球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：,如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为稳定平衡,如小球受到干扰后失去回到原先的平衡位置的可能性，则称该状态为不稳定平衡,如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为随遇平衡,
2、4,结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。,结构的失稳类型,第一类失稳（分支点失稳）,第二类失稳（极值点失稳）,5,第一类失稳的基本特征,FPcr,I 稳定,II 不稳定,FP FPcr时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。,FP FPcr时，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。,完善体系,结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。,6,发生第一类
3、失稳的还有：,他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路径。,7,第二类失稳的基本特征,FP,FPcr,初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载能力。,非完善体系,是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。,8,他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质不发生突变，而
4、是平衡路径产生了极值点。,发生第二类失稳的情况：,FP,9,当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。,扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征,FP,FPcr,由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题,10,稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。,11,16.2 有限自由度体系的临界
5、荷载,确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为体系失稳的自由度。,DOF = 1,DOF = 2,DOF = ,12,主要计算方法：,静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。,13,一、静力法,在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。,第一解：,第二解：,1、单自由度完善体系的分支点失稳,A,B,A,B,14,临界荷载：,(1) 大挠度理论,FP
6、cr,I 稳定,II 不稳定,(2) 小挠度理论,大、小挠度理论 临界荷载相同,15,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,A,B,A,B,16,1.57,求极值点处的临界荷载,1.00,(1) 大挠度理论,17,(2) 小挠度理论,A,B,18,结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳。第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精
7、确解。,分析结论,19,第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。,分析结论,第一类失稳仍有其重要地位,20,例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr,平衡方程,特征方程,特征根,解：从临界平衡状态的两重性出发,21,例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两
8、重性出发列平衡方程。,22,稳定方程,屈曲时可确定 y1和 y2的比值,位形图,临界荷载,23,l,l,l,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。,24,1,1,1,1,25,计算步骤：,1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态；2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图；建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；5 最小特征值即临界荷载。,26,多自由
9、度体系失稳的基本特点：,1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；2 具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n个可能失稳形态；3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的；4 真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。,27,二、能量法,依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。,势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（EP =0）。,该驻值条件等价于平衡条件,保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻
10、值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：,稳定平衡,随遇平衡,不稳定平衡,28,变形体系势能：,= 荷载势能 + 变形势能,由广义坐标变分的任意性,关于广义坐标ai 的齐次方程,广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。,关于广义坐标的总势能驻值条件：,29,例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr,解：从临界平衡状态的能量特征出发,系统总势能,30,例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr,解：从临界平衡状态的能量特征出发,表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的,31,l,l,l,k,k,FP
11、,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,例题：用能量法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：,32,1,1,1,1,势能驻值条件,特征向量方程组,特征方程（非零解条件）,特征值,特征向量（失稳形态）,临界荷载,33,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,从能量角度观察失稳位移图形可以发现: 当两种情况下铰结点(弹簧)位移数值相等时,反对称位移形态的D点水平位移较大。或者说，D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。,34,16.3 无限自由度体系的临界荷载,引入假定
12、： 1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变； 2 材料是线弹性的； 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。,无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是静力法和能量法,35,1. 等截面压杆的临界荷载,静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。,一、静力法,对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。,A,B,A,B,36,1. 等截面压杆的临界荷载,边界条件: x = 0 时, y = 0 ; x = l 时, y = 0,A,B,A
13、,B,37,边界条件: x = 0 时, y = 0 ; y =0 x = l 时, y = 0,例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：建立变形体平衡方程,A,B,A,B,38,非零解需要系数行列式为零，得稳定方程,这是以l为自变量的超越方程，通常用试算法或图解法求解稳定方程的最小正根。,零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。,39,设： y1= l y2= tan l,变形曲线不是唯一的，是一组形状相同而幅度不同的曲线族（类似振型）。,图解法:,两条线有无穷多交点，即有无穷组解。,最小的非零根： l=4.493,40,例题：静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱AB的计算长度。,
14、解：建立变形体平衡方程,41,边界条件: x = 0 时 y = 0 x = l 时 y = y = 0,42,展开，得超越方程：,讨论：,（1）如果I2= 0，则 k = 0,当EI1为有限值时，l0，所以,（2）如果I2= ，则 k = ,43,（3）如果I2= I1 ，则 k = 3EI/l3,有讨论（1）、（2）知,试算法:,令,则,所以,27.09,4.4,3.0,5.86,2.3,0.5,0.043,2.21,2.20,-0.024,-0.5,2.0,1.6,-34.5,44,分析对称杆件的失稳变形形态,FP,FP,由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。,实际结构中压
15、杆的支承常是弹性的：,45,对称的失稳的位移形态,反对称失稳的位移形态,46,当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、下限可由概念分析得出。,反对称情况，如刚架梁EI10,对应悬臂柱，得临界荷载下限：,反对称情况，如刚架梁EI1,对应滑动支座，得临界荷载上限：,讨 论：,刚架反对称临界荷载变化范围：,对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的失稳只能是反对称的。,47,2. 变截面压杆的临界荷载,工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两
16、类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。,FP,以图示体系为例分段建立平衡微分方程：,设：,48,2. 变截面压杆的临界荷载,平衡方程的解：,积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：,当x = 0 时，y1 = 0；从而导出 B1 = 0,当x = l 时， y20 ；导出 A2 B2 tan2l = 0,当x = l1 时，y1 = y2 、 y1= y2导出,FP,49,2. 变截面压杆的临界荷载,由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：,展开后求得特征方程,当EI2=10EI1, l2= l1= 0.5l 时,得
17、最小根1l 1= 3.953,50,二、能量法,对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。,能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。,压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为自由度数。,51,压杆在挠曲平衡状态时,若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能,应变能,荷载势能,52,体系势能,由体系势能的驻值条件,53,临界荷载的上限,由于压杆失稳的位移曲线一般很
18、难精确预计和表达，用假设的位移曲线通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法的关键。,54,由边界条件设变形函数,例题：能量法求图示体系的临界荷载.,取一项时,一阶基函数,广义坐标 a1,解：,A,B,55,代入能量法的驻值条件,误差48,由广义坐标非零解的要求,56,误差3.6,取两项时,57,由边界条件设变形函数,微段以上部分荷载,微段以上外力势能：,例题：能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载.,解：,取一项时,58,外力势能,应变能,体系势能,由广义坐标非零解要求,由体系势能驻值条件,误差5.88,59
19、,取两项时,变形能,外力势能,体系势能,60,由势能的驻值条件,由广义坐标非零解要求,61,稳定方程最小根,比精确解仅大0.01,显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅增加。用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。,62,例题：试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临界荷载.,解：,（1）假设挠曲线为抛物线,A,B,63,（2）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载FH引起的挠曲线,比精确解大22
20、.0,64,比精确解大1.3,65,（3）假设挠曲线为正弦曲线,与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的位移曲线。,66,例题：试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯性矩为：,解：,根据边界位移条件设变形函数,（1）取一项作为近似位移函数,求得,A,B,67,（2）取两项作为近似位移函数,求得,两次计算结果已经很接近，相对差值不到0.01，由此可以了解近似程度。,68,16.4 组合压杆的临界荷载,由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应加大截面惯性矩或减小计算长度。,通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的
21、。,由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接件相联组成的“空腹柱”，按其联接件形式分缀条式和缀板式两种。,69,缀条式：用角钢或小型槽钢与肢杆连成桁架式。缀条与肢杆的连接视为铰结。,缀板式：用条形钢板将肢杆连成封闭刚架形式。缀板与肢杆的连接视为刚结。,缀合构件通常有两种形式：,70,组合压杆的横截面,当绕 y-y 轴失稳时，临界荷载的计算与实腹杆相同。,当绕 x-x 轴失稳时，由于缀合构件的连接，截面惯性矩增大，但剪切变形也增大，使得临界荷载值相应下降。,组合压杆稳定性分析的关键在于
22、确定整体剪切变形对临界荷载的影响,71,弯矩产生的曲率,剪力产生的附加曲率,截面形状系数矩形截面为1.2圆形截面为1.11,一、剪切变形对临界荷载的影响,微元体分析剪切变形,72,对两端铰支杆压杆（FR=0）,所以,73,为不计剪变临界欧拉力,剪力修正系数,实体压杆中剪力对临界荷载的影响很小，可略去不计。但对组合压杆必须考虑剪切影响,74,二、缀条式组合压杆的临界荷载,首先取压杆的一个节间分析,当剪切角不大时,通常肢杆的横截面面积远大于缀条的横截面面积，因此只需计入缀条的影响。相邻节间共用一对缀条，故计算时只需计算图中的一对横杆。,75,设 Ap-水平缀条截面积.,Aq-倾斜缀条截面积.,76
23、,若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为:,77,若用r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴 x 的回转半径,即,并且,一般为3060,故可取,并引入长细比,若采用换算长细比h ,则有,上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.,78,三、缀板式组合压杆的临界荷载,将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相邻结点的中点处。,首先取压杆的一个层间分析,79,一般缀板的弯曲线刚度远大于肢杆的弯曲线刚度，当略去缀板的变形影响时,若近似的以1代替0.83，则,80,长细比为,计算长度系数,这就是钢结构设计规范中给出的缀板式双肢组合压杆换算长细比的计
24、算公式。,81,四、提高临界荷载值的措施,为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：,（1）尽量减少压杆杆长,对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。,82,（2）合理选择截面形状,当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲。最经济的办法是尽量加大截面的惯性矩。并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。,当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时，应采用最大与最小惯性矩不等的
25、截面，并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束。,83,（3）改善杆端的约束情况,杆端约束刚性越强，压杆的长度系数越小，临界荷载值就越大。因此尽可能加强杆端约束的刚性，可使压杆的稳定性得到提高。,84,（4）合理选用材料,在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。,但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。,85,End,失稳形式,分支点失稳,极值点失稳,采用理论,小挠度理论,大挠度理论,平衡状态,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,随遇平衡状态,总结,
