概率论的基本概论.docx

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1、第一章 概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”-为一随机事件。例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定义：对于一随机事件

2、A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。1.1 随机试验序号条件观察特性可能结果E1抛一枚硬币正、反面出现的情况正面H,反面TE2将一枚硬币抛掷三次正、反面出现的情况HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE3同上出现正面的次数0,1,2,3E4抛一颗骰子出现的点数1, 2, 3，4，5，6E5记录电话交换机呼唤次数一分钟内接到的呼唤次数0,1,2,3,.E6一批灯泡中任抽取一次测量使用寿命非负实数E7记录某地昼夜温度最高和最低温度以上试验的共同特点是:1试验可以在相同的条件下重复进行；2试验的全部可能结果不止一个，并且

3、在试验之前能明确知道所有的可能结果；3每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为，e等。E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或,即：S=|为E的基本事件，=e.注意：的完备性，互斥性特点。例：1.1中试验E- E7E：S=H,T E：S= HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT

4、 E：S=0，1，2，3 E：S=1,2,3,4,5,6 E: S=0,1,2,3, E：S=t E7：S=（二） 随机事件 我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为 事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。集合论集合 点 子集概率论S A 在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。 必然事件：S 不可能事件： 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出现是的H”,即：(三) 事件的关系与运算 设E 的S ，A ，B， 123457。 记。(常用的关系） 补充1 2 3 吸收律 若，则特别注意： 德莫根

5、律（对偶公式）推广：，。例2：P6,在例1中.其它例子：例3：设甲中，乙中，问与各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”；（2）“三发子弹都未打中目标”；（3）“三发子弹至少有一发打中目标”；（4）“三发子弹恰好有一发打中目标”；（5）“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习1.3 概率与频率(一） 事件的频率及其稳定性 设某试验的样本空间为，为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在这n次试验中，A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n次试验中发生的频率，记作:。 频率的基本性质(1

6、) 对任意事件A，有；(2) ，；(3) 若是互不相容的，则，推论：对任一事件A，有。实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p89页例1，2.概率的频率定义 定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作p。补充：概率的几种度量方法事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函

7、数，满足某种概率进行代数运算的公理。 对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。1. 几何概率度量表示”在区域中随机取一点，而该点落在区域g中”这一事件。例：这时，可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。2. 主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。 例如：见朱手稿。现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A): 即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。让你选择A发生还是B发生的可能性大

8、，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。选择对的话，将10万元。 红色区域 如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义1.2 设试验E的样本空间

9、为S，如果对每一个事件A都有一个实数与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A，有；公理2（规范性）：对必然事件S，有；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件互不相容，则，那么称为事件A的概率。 概率的性质(1);(2)有限可加性: 若互不相容，则; (3)对事件A,都有;(4) 若,则 ; ； 特别的，对任何事件A，都有;(5) 对任何两个事件A,B，都有 ;(6) 对任何n个事件,都有例10-12为第一版上的例子。例10： A,B是E中二个事件，已知 ，求 解：例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%；订购C报的占30%，同时订购A

10、,B的占10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）（1）只订购A报纸的；（2）至少订一种报纸的。 例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。 1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1古典概型与计算公式 E满足： S中基本事件个数是有限的n ； 每个基本事件发生是等可能的.称E为古典概型。 E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为P(A). 2古典概率的基本性质 设E是古典概型，其样本空间为，A，A，A，A是E中事件： 0P（A）1 P（S）=1，P（）=0 若A，A，A是互

11、不相容的事件，则有P； 推论： P（A）=1- P（）。 例1 P13，将一枚硬币掷三次，。P14-17 例27.照书上讲。以下例4-9为第一版上的例子：例4：E中求任取一球的号码为偶数的概率。解：设A=所取的球的号码为偶数= w2，w4，w6 即A中基本事件数k=3，于是P（A）=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。这种取

12、法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。 例7：盒中有a个红球，b个白球（a2 , b1），每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：(1) “ 取出的三个球依次为红，白，红色球 ”A ；(2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”B . 例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。 例8：（1.14）设一批同类型的产品共有件，其中次品有件。今从中任取（假定）件，求次品恰有件的概率 例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每次取一件，连取两次。求

13、下列事件的概率：（1）“ 取到的两件产品的质量是相同的 ”A ；（2）“取到的两件产品至少有一件是正品”B .1.5条件概率(一） 条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为”到少有一次为H”， 事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。解：样本空间为S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为：P(B/A)=1/3注意到：易知：1. 定义：设A,B为E中的二个事件，且，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：.同样若，则。2. 性质（定理）

14、如果,则是概率.3. 计算方法法一：公式计算法;法二：直接计算法.不难验证，条件概率P(/A)符合概率定义中的三个条件：1.非负性2.完全性3.可加性P19例2 P19，。下面的例11-13为第一版。例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在二个箱内，它们产品的情况如下： 正品 次品 小计 甲厂 50 20 70 乙厂 25 5 30 小计 75 25 100从中任取一件产品，求下列事件的概率：（1）“取得的一件产品是甲厂产品”=A; (2)“取得的一件产品是次品”=B; (3)“取得的一件产品是甲厂生产的次品”; (4)已知取得的一件产品是甲厂生产的，求它是次品的概率。 例12：在标号依此为的1

15、5个同类球中，任取一球。易算出下列事件的概率和条件概率。(1)取得“标号为偶数”（事件A）的概率；(2)取得“标号小于6”（事件B）的概率；(3)取得“标号既为偶数，又小于6”（事件AB）的概率；(4)若已知“所取球的标号小于6”（即在B已发生的条件下），则“球的标号为偶数”（即A再发生）的概率。例13：(书例120) 设有100件同类型的产品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。从中任取一件，已知“取得的是非次品”（事件B），求“它是一等品”（事件A）的概率。(二)概率的乘法公式定义： 设两个事件,且，由条件概率公式得,若,有称为概率的乘法公式（定理）.例3，4，P21-22;例141

16、6为第一版：例14： (书例121) 10件同类型产品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取两次，每次取一件，求“两件均为正品”（事件A）的概率。推广：对n个事件，且,则有。例15： (书例1. 22) 一城市位于甲，乙两河的汇合处，当两河流至少有一泛滥时，该市就会被淹，已知在指定的时间内，甲,乙两河泛滥的概率均为0.01，又当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5。求在指定的时间内该市被淹的概率。例： 已知，且，。求：； 。例16：十个人抓一张电影票，问每个人抓到电影票的概率与抽签的次序是否有关？条件概率与有如下的一般关系 (三)全概率公式例17（第一版）：口袋中有16个球，其中白球10个，红

17、球6个。每次取一球，取后不放回，连取两次。求下列事件的概率：(1)“第一次,第二次取的都是白球”;(2)“第二次才取到白球”;(3)“第二次取到白球”.思考：三个事件有什么不同？ 第(3)个事件有何特点？难点在哪？怎么解决问题？定理1.1（全概率公式）若事件组满足： (1) 互不相容且, (2);则对任何事件A,均有 。 （1.19）称满足(1)、(2)的事件组为完备事件组。(1.19)式称为全概率公式。重点在于:什么情况下用全概率公式，如何用全概率公式解决实际问题。关键是找出且找出发生的“种可能原因”或“可能的前提条件”或“情况”将其视为。例18(第一版)：（书例123） 市场出售的灯泡，甲

18、厂占80%（其中合格率为95%），乙厂占20%（其中合格率为90%）。任买一灯泡，求它是合格品的概率。例19(第一版)：甲、乙、丙三厂生产一批同类产品。甲厂产量是乙厂、丙厂产量之和，而乙厂产量是丙厂产量的二倍。又知甲、乙、丙三厂产品的正品率分别为0.90,0.96,0.84。(1) 求从该批产品中任取一件是正品的概率；(2) 已知取得的一件是正品，问它是哪个厂产品的可能性最大（概率）？(四) 贝叶斯公式定理1.2 若是一完备事件组，则对任意的事件，均有。此式称为贝叶斯公式。例6，7，P24页。例20(第一版)：（书例126） 某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为“合格

19、品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率。例21(第一版)：袋中有n个球，其中白球数未知，假设有i个白球的可能性对所有的i=0,1,n都相等。现从袋中任取一球，求在取得的球是白球的条件下，袋中原来有i个白球的概率？(i=0,1,n) 1.6 事件的独立性.伯努利概型 一.事件的独立性1.两个事件A,B的独立性定义1.3 对任意的事件A,B,若,则称事件A,B是相互独立的。性质1: 若A与B独立,则与B,A与,与相互独立。2.推广定义1.4 对任意三个事件A,B,C，若则称事件A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。一

20、般的，对任意n个事件，若，；，； 。则称事件相互独立，简称独立。性质2：若相互独立，则。例22（第一版）：(书例127) 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。求（1） 至少有一人射中目标的概率；（2） 恰有一人射中目标的概率。例23（第一版）： 袋中装有编号为的n个球，有放回地抽r次，求：(1)1号球不被抽到的概率； (2)1号球和2号球均被抽到的概率。二伯努利概型1. 若试验E只有两个可能结果A和,且,则称E为伯努利概型。 称A为“成功”,为“失败”。2. n重伯努利试验将伯努利试验E，在相同条件下，独立地重复进行n次，作为一个试验，则这个试

21、验为n重伯努利概型。记为En。注意两点：相同条件下，即每次 相同。各次试验结果是独立的。3. 定理1.3设E为伯努利试验，且，则在n重伯努利概型中，事件A恰好发生次的概率为：，。例2-3P2728.第一章作业：设计一随机试验E，给该试验的样本空间S，基本事件，并给出一至二个事件。习题1,2,17,18,20,26例24（第一版）：(书例1. 29) 某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求恰好命中3次的概率。例25（第一版）.(书例1. 30) 设一批同类型的产品有N件，其中次品有M件。今从中有放回抽取n件，求次品恰有m件的概率。 15几个例题（第一版）例：（书例1.33）一袋中装

22、有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出一只球并放入一只黑球，这样继续下去，求第k次摸球时摸到黑球的概率。例：（书例1.34）把7个编号的同类型的球扔进4个编号的盒子中，每个球被扔进任何一个盒子中都是等可能的。求第一个盒子恰有2个球的概率。例：（书例1.37）甲，乙，丙三人同时独立向一飞机射击，他们设中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7。设若只有一人射中,飞机坠毁的概率为0.2；若恰有两人射中,飞机坠毁的概率为0.6；若三人均射中，飞机必然坠毁。求飞机坠毁的概率。若已知飞机坠毁，求它是恰有二人射中的概率。例：（例1.38）设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现用此型号的炮若干门同时发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的一架敌机？例：（例1.41）甲，乙二人进行棋类比赛。每次比赛没有和棋，甲赢的概率为p，乙赢的概率为q，p+q=1 ,赢者得1分，输者得0分。比赛独立地进行到有一人超过对方2分才结束，多得二分者为胜。求甲，乙获胜的概率各是多少。例：（例1.42）甲，乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷两次，若正面至少出现一次，则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。