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1、一、重点与难点,二、主要内容,第二章随机变量及其分布,三、往年考题,一、重点与难点,1.重点,(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律,正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算,2.难点,连续型随机变量的概率密度函数的求法,随机变量,随机变量通常用，来表示,二、主要内容,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.,随机变量,连续型,非离散型,其它,
2、(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)说明,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.,两点分布,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布,两点分布,二项分布,泊松分布,二项分布的泊松逼近泊松定理 设0是常数，n是任意正整数，且= np，则对于任意取定的非负整数k，有,由泊松定理 若n很大p很小时，且= np，则有,利用概率分布律的性质,解,例1,典型例题,解,例1,典型例题,因此 X 的分布律为,X 的分布律为,而,例2袋子中有个同样大小的球，编号为，从中同
3、时取出个球，记为取出的球的最大编号，求的分布律.,解,的可能取值为，,则的分布律为,例3 对一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。,解,的可能取值为，.,事件X=k表示“前k-1次射击未中，第k次命中”,又每次射击命中与否是相互独立的，,则X的分布律为,例4设,解,得,例5 设随机变量服从泊松分布，且已知 求,解,设服从参数为的泊松分布则,由已知得,解得,则,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,(4)重要公式,例6 设随机变量X的分布函数为,其中
4、 为常数，求常数,解,则,又,由此得到,又F(x)右连续，得到,典型例题,例7 设随机变量X的分布函数为,求,解：,分布函数,分布律,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,说明: 分布函数本质上是一种累计概率.,当X-1时，,例8 已知离散型随机变量的分布律为,求X的分布函数。,解：,F(x)=PXx=0,当-1X0时，,F(x)=PXx= PX=-1=0.2,当0X1时，,F(x)=PXx= PX=-1+PX=0=0.2+0.1=0.3,当1X2时，,F(x)=PX=-1+PX=0+PX=1=0.2+0.1+0.3=0.6,当2X时，,F(x)=PX=-1+PX=0+PX=1 +PX=2=1
5、,思路 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b,再用已确定的分布函数来求分布律.,解,例9,从而 X 的分布律为,连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,由此可得,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,例10,解,解:,由概率密度的性质 ,故,例11,解:,当x0时,当0 x1时,当1x2时,当x2时,例12,所以X的分布函数为,例 13 设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具有以下的概率密度,现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问,（1）任取1件，其寿命大于1500小时的概率是多少？
6、（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？,例 13 设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具有以下的概率密度,现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问,（1）任取1件，其寿命大于1500小时的概率是多少？,解,（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？,各元件工作相互独立，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则,所求的概率为,（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？,所求的概率为,均匀分布,(1
7、)定义,(2)分布函数,均匀分布的概率计算中有一个概率公式:,则,分布函数,指数分布,例14 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“X 的观测值大于 3”,解,即 A= X 3 .,因而至少有两次观测值大于3 的概率为,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,例15 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用
8、1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,例15 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,正态分布,正态概率密度函数的几何特征,(2)分布函数,无法计算原函数,正态分布下的概率计算方法: 转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(3)标准正态分布,(4)重要结论,正态分布与标准正态分布之间的关系,(5) 分位数,定义：设 ，若 满足条件,则称点 为
9、标准正态分布的上侧 分位数。,例16 设XN(1.5, 4),求,解,解,例16 设XN(1.5, 4),求,解,例16 设XN(1.5, 4),求,(1) 所求概率为,解,例17,0.01,随机变量的函数的分布,(1)离散型随机变量的函数的分布,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,例18,0.2 0.1 0.3 0.4,故 Y 的分布律为,例 19 ，令 ，求,解,(2)连续型随机变量的函数的分布,第一步 先求Y=2X+8 的分布函数,解,例20,第二步 由分布函数求概率密度.,解,例21,再由分布函数求概率密度,的概率密度。,解,例,例21,的概率密度。,定理,例22,解,四、往年考题,47,48,50,
