二维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第五章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布随机变量的独立性条件分布,1.1 二维随机变量及分布函数,一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布,一、 二维随机变量,1.1 二维随机变量及分布函数,设(X,Y)是二维随机变量， 则称 F(x,y)=PXx,Yy 为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数,其中x,y 是任意实数.,二、联合分布函数,定义：,注：联合分布函数是事件 Xx与Yy同时发生(交)的概率

2、,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,几何意义,如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数 F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在,以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,对任意的x,y,有 0F(x,y)1; F(x,y)关于x、关于y 单调不减；,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,F(x,y)关于x、关于y 右连续,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,随机点(X,Y)落在矩形

3、区域,的概率,1.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,注：任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij ，(i,j1, 2,)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X,Y)PXxi, Y yj,pij ,(i,j1,2,)

4、，,二维离散型随机变量定义,若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列个数对(xi,yj),(i,j1,2, )，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,联合分布律,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律的性质 (1) (2),二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,0pij1, i, j1, 2, ,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例2,一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这,袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每,次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别,记第一次、第二次取得的球上标有

5、的数字.,求:,(1) X,Y的分布率;,(2) P(XY).,解:,P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3,P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3,P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,(2),P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2),=0+(1/3)+(1/3)=2/3,由于事件XY=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2,且三个事件互不相容,因此,有放回抽取方式,P(X=1,Y=2)=2/9,P(X=2,Y=1)=2/9,P(X=2,Y=2)=4/9,P(

6、X=1,Y=1)=1/9,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,则(X,Y)的分布函数为,其中和式是对一切满足xix , yjy求和。,分布律与分布函数的关系,1.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例 若(X,Y)的分布律如下表，,Y,X,0 1,0 1/2 0,1 0 1/2,求(X,Y)的分布函数。,解,例：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在变量1X中等可能地取一整数，试求（X,Y）分布规律。解： 的取值情况是：i=1,2,3,4 j

7、 取个不大于i的正整数且由乘法公式得,如求：Y=2概率,例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。解(X,Y)所取的可能值是（0,0）（0,1）（1，0）（1,1）（0,2）（2,0）,1.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有,则称(X,Y)是连续型二维随机向量,函数 f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)概率密度.,2概率密度f(x,y)的性质,1.3 二维连续型随机

8、变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有,(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率 为:,在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 ,介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P(X,Y)G的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶面的柱体体积。,1.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,例3: 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,求：,(1) 常数c；,(2)P(XY).,因此解得,(1) 由性质,得到,c=8,解:,1.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变

9、量及联合密度函数,(2)P(XY)=,=,=,=,=,1.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(一)均匀分布 定义: 设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维 随机向量(X,Y)具有概率密度.,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,1.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布,其中G=0 x1,|y|x,求(X,Y)的联合密度函数.,解：,1.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1

10、所围。求: (X,Y)的概率密度。,解：,1.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(二)二维正态分布 定义: 若(X,Y)具有概率密度,其中 -0,20 ,|1,则称(X,Y)服从参数为1,2,21,22,的二维正态分布，记为:(X,Y)N(1,2, 21,22,).,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,练习,1.4 边缘分布,一、边缘分布函数,1边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称 P(Xx)=P(Xx,Y+) (-x+)为X的边缘分布函数,并记为Fx(

11、x).,2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+,y).,1.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,试从联合分布函数F(x,y)求关于X,关于Y的边缘分布函数FX(x),FY(y).,解:,由边缘分布函数的定义我们有,1.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y).,1.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,1. 边缘分布律 设(X,Y)为离散型二维随机变量,其联合分布律为 PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, 称PX=xi,Y+(i=1,2,)为X的边缘分布律。

12、,2. 计算,以后将 记为 pi.,1.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,X的边缘分布为,Y的边缘分布为,1.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,1,x1 xi,因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为：,仅对离散而言,仅对离散而言,求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。,解: X的可能取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 因此关于X的边缘分布律为,同样的方法求得关于Y的边缘分布律为,例联合分布律的为：,例：已知下列分布规律，求其边缘分布律,Y,x,Y,X,解:,x=0的

13、概率,1.4 边缘分布,三、连续型随机变量(X,Y)的边缘密度函数,边缘密度函数 设二维连续型随机变量(X,Y)有联合密度函数f(x,y), 分别称,为(X,Y)关于X的边缘密度函数；,为(X,Y)关于Y的边缘密度函数.,说明,例:(X,Y)的联合密度函数为求边缘概率密度fx(x),fY(y)。,解 X 的边缘密度函数为,Y 的边缘密度函数为,例: 设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。解:(X,Y)的p,d为：,先求fx(x) : 当-1x1时,例 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度,求边缘概率密度f

14、x(x),fY(y).,即XN(1,12)，YN(2,22).且不依赖参数.,例：设随机变量x和y具有联合概率密度求边缘概率密度解：当0 x 1时，当x1时，因而得,(1,1),1）当0y 1,2）当y1时，因而得：,例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试求二维正态随机变量的边缘概率密度。解：,于是：,二维正态分布的两个边缘分布到好似一维正态分布，并且都不依赖于参数 。,边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布不一定是二维正态分布。令（X.Y)的联合密度函数为显然，（X,Y）不服从正态分布，但是因此边缘分布均是正态分布的随机变量，其联合分布不一定是二维的状态分布。,例：设,解：当x0时

15、， 当x0时,例:一整数N等可能地在1,2,310十个值中取一个，设D=(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数。试写出D和F的联合分布律，并求边缘分布律。解：,由此可得D与F的联合分布律与边缘分布律：,能整除1,2,能整除1,3,能整除1,2,4,（1,0不为素数）,D,或将边缘百分率表示为,例：设随机变量x与y相互独立，并且x服从N(a, ),在 上服从均匀分布，求（x,y)的联合概率密度。,例：设两个独立的随机变量x与y的分布规律为,于是：,因此（x,y）的联合分布规律为,x,1.5 随机变量的独立性,随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独

16、立的推广. 两个随机变量的相互独立性 设X，Y为随机变量.如果对于任意实数x,y，事件Xx、Yy相互独立的，即 PXx,Yy=PXxPYy 那么称X，Y相互独立,1.5 随机变量的独立性,一、二维随机变量独立性的定义,定义：设F(x,y)及Fx(x),FY(y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。,注释: 由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定联合分布。如果X与Y相互独立，则X，Y的边缘分布就能确定联合分布。,例: 试证明例1中的两个随机变量X与Y的独立性.解: (X，Y)

17、的分布函数为,边缘分布函数分别为,容易看出，对于任意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的,1.5 随机变量的独立性,二、离散型随机变量独立的等价条件,定理 设(X，Y)为离散型随机变量，其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i,j=1，2，) 其边缘分布分布律为 PX=xi=pi (i=1，2，) PY=yj=p j (j=1，2，) 则X与Y相互独立的充要条件是对于任意i，j 有: pij= pipj,1.5 随机变量的独立性,二、离散型随机变量独立的等价条件,证明：(1)充分性。若对于任意i，j有: pij=pip j 则对于任意实数x,y有,所

18、以X与Y相互独立。,(2)必要性。若X与Y相互独立，对于任意实数 x1x2，y1y2，有 Px1Xx2，y1Yy2=Px1Xx2Py1Yy2,于是，对于任意i，j，由概率的连续性,1.5 随机变量的独立性,二、离散型随机变量独立的等价条件,例,设(X,Y)的联合分布律为,证明:X,Y相互独立.,证 X,Y的边缘分布律为,由于 p11=(2/20),而p1.=(1/4), p.1=(2/5),易见p11=p1.p.1,i,j=1,2,3.因此,由定义知X与Y独立.,1.5 随机变量的独立性,三、连续型随机变量独立的等价条件,定理. 设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y

19、)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = fx(x)fY(y) 对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有连续点成立.,1.5 随机变量的独立性,三、连续型随机变量独立的等价条件,证明：(1) 充分性。若f(x，y)=fx(x)fY(y) ，则,所以，X与Y相互独立,(2) 必要性。若X与Y相互独立，则在f(x，y),fx(x)， fY(y)的所有连续点有,设二维随机变量X与Y的联合密度函数为 问 (X,Y)是否相互独立？分析：为判断X与Y是否相互独立，只需看边缘密度函数之积是否等于联合密度函数.,所以X的边缘密度函数为,所以Y 的边际密

20、度函数为,故X与Y不相互独立,例：已知 的分布规律为,1）求 与 应满足的条件；2）若x与y互相独立，求 与 的值。,1）由分布规律的性质知故 与 应满足的条件是：,0,0,2/3+ + =1，,0,0, 且 + =1/3，,2）因为 与 相互独立，所以有,例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互独立.,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2

21、, , Xn xn)称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义. 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称 PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn,(x1,x2,.xn) Rn为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义. n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,则称(X1,

22、X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,独立性的概念推广至高维随机向量的情形 1. 定义: 设(X1，X2，Xn)为n维随机向量，其分布函数为F(x1，x2，xn)，关于xi的边缘分布函数Fxi(xi)，若对于任意实数x1，x2，xn有,则称X1，X2，Xn是相互独立的。,设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,练习,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij

23、, i, j=1,2,. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 PX=xi=pi i=1,2,. PY=yj=pj j=1,2,. 设pi0,pj0，考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即 X=xi|Y=yj, i=1,2,.的概率,由条件概率公式,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,条件概率具有分布律的特性(1).PX=xi|Y=yj0；,1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,同理，对于固定的i，若PX=xi0，则称,

24、为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,2. 条件分布函数,同理，,X,Y,-1 1 2,0 1/12 0 3/12 3/2 2/12 1/12 1/12 2 3/12 1/12 0,试分别求Y|X=0及X|Y=-1的条件分布律,例 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,解,X|Y=-1,0 3/2 2,P 1/6 2/6 3/6,Y|X=0,1 1 2,P 1/4 0 3/4,p. 1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6,P1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于

25、对任意x,y有PX=x=0 , PY=y=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXx|Yy.下面我们用极限的方法来处理. 给定y,设对于任意固定的正数,Py-Yy+0 ,于是对于任意x有,上式给出了在任意y-Yy+下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限,存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 记为PXx|Y=y或记为FX|Y(x|y).,2.公式： 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y)连续,且fY(y

26、)0,则有,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,3.条件概率密度 定义,同理，,称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,请同学们思考,为什么不能用条件概率的定义来直接定义条件分布函数 ?答：条件分布是指在一个随机变量取某个确定的值的条件下，另一个随机变量的分布，即 ，由于 可能为零（连续型时一定为零）。故直接用条件概率来定义时，会出现分母为零，因此在条件分布中，作为条件的随机变量的取值是确定的数。,条件分布函数与条件密度函数的关系,说明：联

27、合分布，边缘分布，条件分布的关系如下 / 边缘分布联合分布 联合分布 / 条件分布联合分布可唯一确定边缘也可唯一确定条件分布,例 设G是平面上的有界区域其面积为A，若二维随机变量（x，y）具有概率密度设（x，y）在圆域 上服从均匀分布求解条件概率密度解：由题意知随机变量（x，y）的概率密度为又知边缘概率密度为于是 当-1y1时有,例 设数x在区间（0,1）上随机的取值，当观察到X=x(0 x1)时，数Y在区间（x，1）上随机的取值，求Y的概率密度解：由题意知x具有概率密度在X=x的条件下，Y的条件概率密度为因此x和y的联合概率密度为,例 设1）求c的值 2）求关于x，关于Y 的边缘概率密度;3）判断X,Y的独立性解：1）因为,例1: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(1,2,12,22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x).解: (X,Y)的密度函数为,由上前面的例题知道,所以X=x条件下Y的条件概率密度为,这正是正态分布,