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1、7.9 最小多项式,由哈密尔顿凯莱定理，,是A的特征多项式，则,因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个,多项式 使,多项式 以A为根.,引入,本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的,那个与A的对角化之间的关系.,此时，也称,7.9 最小多项式,一、最小多项式的定义,定义：,设 在数域P上的以A为根的多项,为A的最小多项式.,式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称,7.9 最小多项式,二、最小多项式的基本性质,证：设 都是A的最小多项式.,由带余除法， 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多项式,由最小多项式的定义，,即，,同理可得，,又 都是首1多项式,故,7.9 最小多项式,2
2、.（引理2）设 是矩阵A的最小多项式，则,以A为根,证：充分性显然，只证必要性,由带余除法， 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多项式,由最小多项式的定义，,由此可知：,若 是A的最小多项式，则 整 除 任何一,个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即,7.9 最小多项式,例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式,特别地，单位矩阵的最小多项式是；,零矩阵的最小多项式是.,反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则,A一定是数量矩阵.,例2、求 的最小多项式.,7.9 最小多项式,解：A的特征多项式为,又, A的最小多项式为,7.9 最小多项式,证：设矩阵A与B相似， 分别为它们
3、的,最小多项式.,由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使,从而,也以B为根，,同理可得,从而,又 都是首1多项式，,7.9 最小多项式,反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.,如：,的最小多项式皆为 但A与B不相似.,注：,即,所以，A与B不相似.,7.9 最小多项式,5.（引理3）设A是一个准对角矩阵,并设 的最小多项式分别为 .,则A的最小多项式为 的最小公倍式.,证：记,首先，,即A为 的根.,7.9 最小多项式,所以 被A的最小多项式整除.,则,从而,其次，如果,从而,故 为A的最小多项式.,7.9 最小多项式,若A是一个准对角矩阵,且 的最小多项式为,则A的最小多项式是为,推广：,
4、特别地，若两两互素，即,则A的最小多项式是为,7.9 最小多项式,6.（引理4） 级若当块,的最小多项式为,证：J的特征多项式为,7.9 最小多项式,而,的最小多项式为,7.9 最小多项式,6.（定理13） 与对角矩阵相似,的最小多项式是P上互素的一次因式的积.,证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性.,根据矩阵与线性变换之间的对应关系，,设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，,则,则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为,7.9 最小多项式,若为P上互素的一次因式的乘积：,则,其中,（此结论的证明步骤同定理12）,把 各自的基合起来就是V的一组基.,从而A相似于对角矩阵.,特征向量.,所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.,在这组基中，每个向量都属于某个 ， 即是的,7.9 最小多项式,8. 与对角矩阵相似,的最小多项式没有重根.,练习：,求矩阵 的最小多项式.,7.9 最小多项式,又,的最小多项式为,解： 的特征多项式,而,
