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1、高等代数,中南大学数学院,高等代数课题组,一、一元多项式的定义,二、多项式环,1.2 一元多项式,1定义,个非负整数，形式表达式,设 是一个符号（或称文字）， 是一,称为数域P上的一元多项式,其中,一、一元多项式的定义,系数，n 称为多项式 的次数，记作,为零多项式零多项式不定义次数,区别：,零次多项式,注：, 若 则称 为 的首项， 为首项,零多项式,2多项式的相等,若多项式 与 的同次项系数全相等，则,称 与 相等，记作,即，,3多项式的运算：加法（减法）、乘法,加法：,若 在 中令,则,减法：,中s 次项的系数为,注:,乘法：,4多项式运算性质,1) 为数域 P上任意两个多项式，则,仍为
2、数域 P上的多项式,2), 若,则,且,9,的首项系数,3) 运算律,例1设,(2) 在复数域上(1)是否成立？,(1) 证：若,则,于是,为奇数.,故,从而,从而,这与已知矛盾.,(2) 在 C上不成立如取,从而必有,又 均为实系数多项式 ，,所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域,P上的一元多项式环，记作,P称为 的系数域,二、多项式环,定义,一、带余除法,二、整除,1.3 整除的概念,对,一、带余除法,定理,称 为 除 的商，为 除,的余式, 若,则令,结论成立, 若,证：,当 时，,结论成立,下面讨论的情形，,假设对次数小于n的 ，,结论已成立,先证存在性,次数为时结论显然成立,设
3、的首项为,的首项为,则 与 首项相同，,因而，多项式,的次数小于n或 f1为0,若,若,由归纳假设，存在,使得,现在来看次数为n的情形,其中,或者,于是,成立,的存在性得证,由归纳法原理，对,再证唯一性,若同时有,其中,其中,和,则,即,但,矛盾,所以,从而,唯一性得证,例1求 除 的商式和余式,附：,综合除法,可按下列计算格式求得：,这里，,的形式,说明：,综合除法一般用于,例2求 除 的商式和余式,解: 由,),有,4,解: ,1,=,2,3,2,3,4,5=,1,3,6,3,6,1,4,4,1,1,10=,5=,10=,二、整除,1定义,设,记作,即,区别：,零多项式整除零多项式，有意义,除数为零，无意义,所得的商可表成,定理1,2整除的判定,3整除的性质,1) 对,有,对,有,即，任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式,时， 与 有相同的因式和倍式,2) 若 ，则,证：,使得,使得,若,则,皆为非空常数,4) 若,（整除关系的传递性）,5) 若,注：反之不然如,但,6) 整除不变性：,两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变,例3求实数 满足什么条件时多项式,整除多项式,附：整数上的带余除法,对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数q、r，,使 aqbr，,其中,
