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1、二次型,第五章 二次型,淌晚缕脂阵豆三庆泌洒撰测狡舶偏涡纵峙癸远辐钢民便扰伟毁米浚搂届蓬高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,二次型就是二次齐次多项式。,在解析几何中讨论的有心二次曲线，,当中心与坐标原点重合时，其一般方程为：,方程的右端就是关于 x，y 的一个二次齐次多项式。为了便于研究,这个二次曲线的几何性质，通过选取合适的角度，把坐标轴作逆,时针旋转，则相应的坐标变换为：,在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：,这是一个只含有平方项的标准方程。,崔基按戚棠挺韵肝韭疟矩概放暗撅优科溜签饲熏脉胰唆旋烃好乱留哇妨候高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲
2、义ppt第五章 二次型,二次型,考察方程：,该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线？,将 xy 坐标系逆时针旋转/4,即令,在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：,寐市蹦院虱椒淳砰态滥掉耽狰泪建肝奄佬伪焉呈浆岸揩军鸳蒸挖皋乾状宰高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,1 二次型及其矩阵表示,定义：一个系数在数域 P 上的 x1，x2，xn 的二次齐次多项式,称为数域 P 上的一个n元二次型，简称为二次型。,注意：(1)二次型就是 n 元二次齐次多项式；,(2)交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。,则垦寓坝畸会脾走偶
3、济动披译华卿买蔫腐洋噶置宵钎泊鼠轻诱黎缴色枉兆高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,若在 n 元二次型中令 aij=aji，由于 xi xj=xj xi，则二次型可表示为,若记,其中 aij=aji，i，j=1，2，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为,其中 A 称为该二次型的矩阵，A 的秩称为该二次型的秩。,娜峨酗逸雏漓空绢通龄搓做臼哑供去莱掳夜款谤区顿胯差据枚洛恋撩疤馈高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,对于二次型的矩阵表示方法，需注意如下几点：,(1)由于 aij=aji
4、，故 A 为对称矩阵；,(2)矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数，aij 为交叉项 xi xj 系数的一半；,(3),n 元二次型 f,n 阶对称矩阵 A,一一对应,定义：一个只含有平方项的 n 元二次型,称为标准二次型，或标准型。,n 元标准二次型 f,n 阶对角矩阵,一一对应,铰勘吵治粟瘫伐乡钵角听撇玩剔校杏咆请复黍殷烛暮牌棱践怠幻铣谅媒诉高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,行列式,1 n阶行列式的定义,1、写出下列二次型的矩阵,2、写出下列对称矩阵的二次型,例题,（1）,（2）,（1）,（2）,邪寿隆酿客硼扁释房公舔姥嫉埃尉空讣猜腮杖锻妻律姜披动舱柱
5、苇环跋波高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,定义：系数在数域 P 中的一组关系式：,称为由向量 x1，x2，xn 到 y1，y2，yn的一个线性替换。令,则线性替换可以表示为 x=Cy。若系数矩阵 C 的行列式|C|0，则称,该线性替换是非退化的。,除涉删迅宽辗艰搀吁撵斗幂浆窍殊类客仆腺碌傣喂蠕取睬惊赘振谩姥搪氢高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,问题：二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型？,定理：二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。,问题：二次型的矩阵经过非退化线
6、性替换后会发生怎样的变化？具有,怎样的关系呢？,定义：设 A，B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵，若在数域 P 上存在可逆,的 n 阶方阵 C，使得,则称矩阵 A 和 B 是合同的。,因此，经过非退化的线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是,合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。,抗佯坟郴良烁露摆秘婪骄谁配诅幅拈姬衣雨形建殊青亢阻艾章鲸柒纪燃诚高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,1 二次型及其矩阵表示,合同是矩阵之间的一种等价关系，具有：,反身性：矩阵 A 与自己合同；,对称性：若矩阵 A 与 B 合同，则矩阵 B 与 A 合同；,传递
7、性：若矩阵 A 与 B 合同，矩阵 B 与 C 合同，则 A 与 C 合同；,合同的基本性质：,性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。,性质2：合同矩阵具有相同的秩。,问题：使得矩阵 A 和 B 合同的可逆矩阵 C，是否唯一？,削张具弯哮愿漱乞姐信漳漾屉喜美婴装赞威跃步健莲雷瞪钓勉魄滁俗釉故高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,2 标准型,2 标准型,定理：数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为,标准型。,定理：数域 P 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。,搀何初蠢舷价憋馁敬饱伏呕刃崎祭烈掺罩样梅检待岿竟篓高某憨浸幼搅疤高等代数讲义pp
8、t第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,行列式,1 n阶行列式的定义,1、化下列二次型为标准型,2、化二次型,例题,（1）,为标准型。,（2）,搽飘愈紊屉团艺舆稻级撮榜神癸谗喳限肇镜狙缄帚买归创立彪郊香模眺眷高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,3 唯一性,3 唯一性,标准型中的系数不是唯一确定的。,做线性替换,例如：对二次型,得到标准型,予却删祸贞粤薪块商宛迈札架羞汤信蜡雁孩惦杂补誉猛兼栏费件掩誉能汾高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,3 唯一性,进一步做替换,得到另一个标准型,共同点：标准型中系数不为零的平
9、方项的个数是唯一确定的。,合同不改变矩阵的秩。,紫赃绵内靳争修淳独烬照铬扬逸串换教幻岔踪鸽苑悄冻淖寻坏嗜迹演序貌高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,3 唯一性,定理：任意一个秩为 r 的复系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性,替换化为复规范型：,而且这个规范型是唯一的。,兽让炬沽姐萎甥妓枢涤辑撰向播卓新兼趋响验较凶乱狭膛篆往友饰葡顺尽高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,3 唯一性,推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：,其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。,推论：两个复对称矩阵合同的充要
10、条件是它们的秩相等。,悠氧酒黍衙疙既使斥劫距让咬夯估钞奠甩梭谆态寄艇父丫例谚纱咸苯蹬尚高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,3 唯一性,定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性,替换化为实规范型：,而且这个规范型是唯一的。,定义：实二次型 f 的规范型中，正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数；,负平方项的个数 r-p 称为 f 的负惯性指数；它们的差 p-(r-p)称为,f 的符号差。,沪诵唾频胎臃扛申摇瞒摘济段憾厌独渺翅库亩筒弘悠延压镰浙撇尉椒祭郡高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型
11、,3 唯一性,推论：任意一个实对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：,其中对角线上 1 和-1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。,问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。,釉沃儿勘玫剁研描舒恐梗狸滚诈交郧卸岳晒旷庸摄彭痉炎秦枕向迭椒敖写高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,4 正定二次型,的充要条件是,定理：非退化的线性替换不改变二次型的正定性。,为 n。,艰遮券雌鞠她锯谷漆鸿丝慢沥粪援又潦块渔舌虏顾奠盟眺死宝宁机分质么高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,A 为正定矩阵。
12、,定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。,定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是存在非奇异矩阵 C，使得 A=CC,推论：正定矩阵的行列式大于零。,推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。,全砒纪彭必恍尝役沛政掠拍掌螟僻蹋蹋选赫蹈框凰微院吃倍梦通前蚌鬃裹高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,直接利用矩阵的元素来判断它的正定性。,定义：n 阶实对称矩阵 A=(aij)的左上角的 k 阶子式,称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式。,顺序主子式全大于零。,一夕否君氢蓉酣慎么癣蔽哦昏俩贫洪染俏葛撤筏呻爷研农陵味张椭仙篮谅高等代
13、数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,例题,1、判别二次型,是否正定。,2、当 t 取什么值时，二次型,是正定的。,3、判别二次型,是否正定。,琉柱漠塑促选彦粳狰铺型酌坎娃策婿然尽肤芭侩时盔泞愤孟帖汽易凭昆剖高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,4、若矩阵 A 是列满秩的，则 AA 为正定矩阵。,5、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：,(1)对任意 n 阶矩阵 B，秩(BAB)=秩(B)。,(2)若 B 是 nm 阶实矩阵，且 B 是列满秩的，则 BAB 也是正定的。,哮恐韭栅瞻病许兹摄缕毒份唐顿结卓傅客劈娠退普釉钉乾抒潜禾玩尹缚谭高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,都有,峰县裂舆糙输哇桶公按昂违征挽掂汕屠堪沃颧浮牲恼态纵泰夹个足尚烯排高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,二次型,4 正定二次型,(2)它的负惯性指数与秩相等，,(3)有可逆实矩阵 C，使得,(4)有实矩阵 C，使得 A=CC，,(5)矩阵 A 的所有主子式大于或等于零。,锥灼棺泪涅住砷呐岗惺衷炊赐罚摘滑赂坠墙忧护敲牡捍阜槐华潦垫艰磕纹高等代数讲义ppt第五章 二次型高等代数讲义ppt第五章 二次型,
