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1、,福建省高等代数与线性代数课程建设第十三次研讨会,矩阵多项式与可逆矩阵的确定,莆田学院数学系,xxxxxxx,1,感谢你的观看,2019年8月23,矩阵多项式与可逆阵的确定,问题解决的一种可行的解决方法,问题的已有解法,问题的提出,2,感谢你的观看,2019年8月23,1.问题的提出,是关于 的 次多项式，为 阶方阵，称,为A的m 次多项式。,设,（见1,P45,2,P7等）。,3,感谢你的观看,2019年8月23,由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的,定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的，,是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题,在“线性代数”
2、教材并不多见。因此多数情况下，这样很有价值,的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲,这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目,也是一个重要的原因。,4,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.3（见9,P52）设A满足,5,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.4（见9,P52）设A 满足,问题1.1.5（见11,P98）设A 为n阶矩阵，满足,6,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.6（见12,P42）,问题1.1.7（见13，P57）设 为n阶矩阵,7,感谢你的观看,2019年8月23,证明 和 不同时可逆。,证明 和 不同时可逆，
3、并求出它们的逆矩阵。,问题1.1.10(见6,P88)设 阶方阵 满足,问题1.1.9(见6,P88)设 阶方阵 满足,（C）A 必不可逆（D）A+E必不可逆,问题1.1.11（见9,P51）设A为n阶方阵，且,则,8,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.,问题1.1.12 设A 满足,问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程,问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.,9,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.15（见3，例7，P42）若方阵A满足方程,10,感谢你的观看,2019年8月23,问题
4、1.1.17（见2，P56）设,证明,11,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.2.1（见7，例2.23）设n阶矩阵A0 满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。,问题1.2.2（见2，习题一（B），34）设方阵A满足A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵?如果是，求其逆。,问题1.2.3（见21，P43,13（2），22,P49,18(2)）设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。,12,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.3.1曾是1990硕士生入学统一考试1990年数学三的试题（见15，P333），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题
5、1.3.1化为基本问题。,阶矩阵，若,（k为整数），证明,可逆，并写出,的表达式。,问题1.3.1（见4,习题1.4.9，5,P94，14,习题3,3-4，,21,P34,6,22,P39,6),13,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.4.1（见11，习题3.2.8，21,P50,3(2)）,设Jn为所有元素全为1的n（1)阶方阵，,14,感谢你的观看,2019年8月23,2问题的已有解法,下面抄录的11对问题1.1.5的解答：,(1)由题设条件移项得，,等式左边提出公因子A得，,则A为可逆矩阵，且,15,感谢你的观看,2019年8月23,(2).将 作恒等变形,16,感谢你的观看,2
6、019年8月23,这样的解法，对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数,且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15-1.1.17,这样系数为字母的解决就得不那样容易了。,17,感谢你的观看,2019年8月23,7给出了问题1.2.1的解法如下：,因为,且,18,感谢你的观看,2019年8月23,后，问题就显得复杂了。,19,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式，来确定2或3个矩阵,性来说是相当有意义的。,的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个,形如问题1.1.16和1.1.17描述的A-kE的可逆阵，这类问题就一
7、般,20,感谢你的观看,2019年8月23,已有文献都是将给定的矩阵等式，看成是矩阵的线性运算与,乘法运算的恒等变形，应用可逆矩阵的重要性质,来解答，基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问题解决相,联系。,实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式,3.问题解决的一种可行方法,出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式,来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。,21,感谢你的观看,2019年8月23,定理3.1,（3.1）,22,感谢你的观看,2019年8月23,证明：由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知,（3.2）,23,感谢你的观看,2019年8月23,例3.2,24,
8、感谢你的观看,2019年8月23,定理3.3,25,感谢你的观看,2019年8月23,这与A-kE可逆矛盾。,26,感谢你的观看,2019年8月23,定理3.4 题设同于 定理3.1且设对 的带余除法式,（3.3）,如果，则 可逆且,这里多项式 g(x)由（3.3）确定.,（3.4）,27,感谢你的观看,2019年8月23,证明：由带余除法的性质知（3.3）中，且,是多项式，这样当 时，,这说明 可逆，结论成立。,28,感谢你的观看,2019年8月23,除式为一次因式的带余除法，有更为简单“综合除法”,的形式。这样将矩阵多项式与化零矩阵等式相结合，可实,施以下的步骤：,对给定的化零矩阵等式，得
9、相关的化零多项式；,由泰勒中值定理或综合除法给出 的等价表示,（3.3）；,如果，则 可逆，且逆阵可,由（3.1）或（3.4）确定。,29,感谢你的观看,2019年8月23,例3.5 问题1.1.5中矩阵 的化零多项式为,（2）由（3.1）得,（1），由定理3.1知 可逆。,30,感谢你的观看,2019年8月23,例3.6 问题1.2.1的化零多项式为，,从，和定理3.1知,都,可逆。,31,感谢你的观看,2019年8月23,例3.7 问题1.1.11中矩阵 的化零多项式,知对任意实数，总有，因此从定理3.1知,是可逆的，从 和（3.1）知,32,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.
10、17也可用类似的方法解决，从A 的化零多项式,知,由定理,知对任意正整数 来说,可逆，且从,和(3.1),知,33,感谢你的观看,2019年8月23,例3.8 问题1.2.2的化零多项式,用,去除,得综合除法,因此,，由定理3.3知,，,是可逆的，且,34,感谢你的观看,2019年8月23,例3.9设 阶矩阵 满足（k为正整数），则,的化零多项式为，,由定理3.1和,知,可逆，且从（3.1）和,知,35,感谢你的观看,2019年8月23,的化零多项式。,，所以,为,从,和定理3.1知 是可逆的，,由（3.1）得,这样,36,感谢你的观看,2019年8月23,例3.11 问题1.1.7：,为,实
11、矩阵，且,证明：,是正交矩阵。,证明：,为实对称矩阵,的化零多项式，,从,和定理3.1知,可逆，且,37,感谢你的观看,2019年8月23,对n阶矩阵A，若有常数a,b存在，使得,称A为由a,b所确定的二次矩阵（见17,18）,当,或,时，,即为通常的幂等矩阵或对合矩阵。,或,38,感谢你的观看,2019年8月23,由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构，特别是应用的广泛，现行的线性代数，很多将这两类矩阵作为教学内容，并且有,定理3.5,（见1,P110,2,p109等）,当,时,（3.5）,当,（3.6）,时,39,感谢你的观看,2019年8月23,40,感谢你的观看,2019年8月23,定理3.6
12、,设,为,阶矩阵满足,证明：由（3.5）和（3.6）得,如果，则,41,感谢你的观看,2019年8月23,应用二次矩阵与其化零多项式的性质，很容易将幂等矩阵（算子）的性质推广到更一般的情况。,42,感谢你的观看,2019年8月23,参考文献,1.同济大学应用数学系编.线性代数（第四版），高等教育出版社，北京，2004年4月.,2.陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后行.线性代数，科学出版社，北京，2009年1月.,3.吴赣昌.线性代数（理工类），中国人民大学出版社，北京，2006年6月.,5.居于马，林翠琴.线性代数学习指南，清华大学出 版社，北京 2005年9月.,4.同济大学应用数学系编.线性代数
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