第九章 扭转ppt课件.ppt

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1、9 圆轴扭转的力学模型,一、扭转变形 杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这样的变形形式称为扭转变形。,2、变形特点： 纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕轴线发生转动。,杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直的力偶作用。,1、外力特点,杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线产生相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。,传动轴,假设：圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间

2、的距离保持不变，横截面半径仍为直线。,横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。,横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。,各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。,推断结论：,圆轴扭转时的应力,1、扭转变形,受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。,变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对转动的变形。这种变形称为扭转。,扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为扭转角-,以扭转为主的杆件通常称为轴。,截面形状为圆形的轴称为圆轴。,本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。,2、按输入功率和转速计算,电

3、机每秒输入功：,外力偶每秒作功完成：,其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。,如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则,外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,外力偶矩的计算,1分钟输入功：,1分钟m 作功：,单位,力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。,二、功率、转速和外力偶矩之间的关系,工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下,kW,三、扭矩和扭矩图,截面法：,T为圆轴扭转时截面上的内力-扭矩,扭矩正负的规定：按右手螺旋法则,扭

4、矩图：表示扭矩沿轴线的变化情况图。,圆轴扭转时的内力及内力图,1、圆轴扭转时的内力-扭矩,以扭转变形为主的杆-轴,扭转时的内力称为扭矩,2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到,3、扭矩正负号的规定,确定扭矩方向的右手法则：,4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。,扭矩正负号：,离开截面为正，指向截面为负。,外力偶矩正负号的规定,和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负,指向截面,离开截面,T = Me,2.扭矩和扭矩图,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),外力偶矩的计算 扭矩和

5、扭矩图,扭矩图,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,4、扭矩图,扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示,计算外力偶矩,作扭矩图,Tnmax=955Nm,例 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。,例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。,A,B,C,先计算外力偶矩,计算扭矩：,AB段,mA,Mn1设为正的,Mn1,BC段,Mn2设为正的,mc,Mn2,二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变

6、形时，在杆横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m,如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手四指与扭矩转向一致，拇指指向截面外法线方向为 正(+),反之为 负(-),外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让其它四指与T转向一致，右手拇指指向外法线为正。,扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。,2 截面法求扭矩,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,当

7、在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。,外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,三、扭矩图(diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）,外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。,试 ：画出圆轴的扭矩图。,例题,外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,解：1确定控制面,外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面,2截面法求各段扭矩,3建立

8、Tx坐标系，画出扭矩图 建立Tx坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Txx坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。,315,630,486,（）,（+）,外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图,例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。,从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。,解：,例已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150k

9、W，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,求扭矩（扭矩按正方向设）,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,讨论题,D,扭转的概念与实例,研究对象： 圆截面直杆,受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0,变形特征：相对扭转角 fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。,扭矩与扭矩图,扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。,T 和T 是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。,32,扭矩的符号规定：,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负

10、。,33,以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。,画扭矩图：,34,简捷画法：,在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。,FN图（轴力）,T 图,35,解：由功率转速关系计算外力偶矩,例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。,最大扭矩在AB段，且,求各截面内力：,BC段,CA段,AD段,简捷画法：,T 图,讨论：试作扭矩图,T 图,求反力偶：,T 图,一、扭矩 Torque 1

11、. 定义：扭转内力偶矩，用 T 表示,用截面法求扭矩,Mx=0 , T-Me=0 T=Me,留左半，求扭矩,留右半，求扭矩,Mx=0 , Me T =0 T=Me,扭矩的正负号：矩向量离开截面为正（图中T 为正）,1. 定义：扭转内力偶矩，用 T 表示 2. 数值：可用截面法取局部平衡求出 数值 = 截面一侧所有外扭转力偶矩之代 数和 3. 正负号：矩向量离开截面为正（图中T 为正） 4. 单位：Nm 或 kNm,二、扭矩图,已知：MA= 1170 Nm MB = MC = 351 Nm MD = 468 Nm 求： 作扭矩图 解： 1.计算各段扭矩,T1= MB = 351 Nm,T =MB

12、 MC =351351 =702 Nm,T = MD = 468 Nm,2. 作扭矩图,351,702,468,设正的扭矩,扭矩图简洁画法,扭矩图应与原轴平行对齐画,内力图要求,1 . 标明内力性质 2 . 正确画出内力沿杆轴 分布规律,1. 计算各段扭矩 2. 作扭矩图,3 . 标明特殊截面的内力 数值,5 . 注明单位(只在内力标志后面写一个即可）,4 . 标明正负号,作扭矩图步骤,圆轴扭转时的应力与变形,变形体静力学的基本研究思路：,1. 变形几何条件,刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。,圆轴扭转的应力公式,圆

13、轴扭转时的应力与强度条件,分析思路：,应力,内力分布,一、实验观察,1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线,2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线,a,b,c,d,3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。,3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。,4）观察变形,abcdabcd,提出假设：,ac、bd代表的是两个横截面,横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。,平面假设成立!,1）平面假设成立,2）轴向无伸缩,3）纵向线变形后仍为平行直线,4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度,观察到的变形：,受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后加载

14、。,(1) 纵向线倾斜了同一微小角度(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变根据以上实验现象,可得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。,观察到如下现象：,剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径,根据精确的理论分析,当tr/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。,实验现象：（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无变化，只是绕轴线转了不同的角度；（2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。,平面假设： 圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小与形状不变，半径仍保持为直线

15、。,推论：（1）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；（2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，线应变等于零，所以正应力为零。,变形几何关系：,单位长度扭转角，用 表示。对于同一截面各点， 是常量。,剪切胡克定律,薄壁圆筒实验的结果表明：剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力不超过材料的剪切比例极限p时,剪应力与剪应变成正比,G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。,剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E 泊松比,对于各向同性材料, E、G、 三个弹性常数之间存在着如下关系:,从上式中可看出：只要知

16、道其中两个，就可求出第三个。因此，三个弹性常数中只有两个是独立的。,圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一圆周上各点的剪应变相等。,二、利用物理关系求剪应力分布规律,剪切虎克定律,圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。,于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。,如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是

17、：,直角abc的角度改变量：,（a）,（b）,由此和(b)式可得出剪应力的变化规律如下：,2、物理关系：,将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式（b）中。,再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径剪应力的分布规律如图所示：,3、静力学关系：,（1）公式推导：,则：整个横截面上的扭矩，,故：,截面极惯性矩,（4-3）,令：,（2） 讨论：,（4-5）,时的情况。,b. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时，例如小锥度的圆锥形杆， 也可近似的应用以上公式。c. 由于在推导上述公式时运用了虎克定律，因此只适用于,a. 由于上述公式是在平面假设的基础上导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面

18、假设才是正确的。因此上述公式只适用于等直圆杆。,公式4-3，4-4，4-5的适用范围：,实心圆轴：,空心圆轴：外径D，内径d,二、强度条件,不超过材料的许用剪切应力 。,故强度条件为：,同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍然是：,（4-9）,（4-10）,三、利用静力学关系求剪应力的大小,( 剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩),式中的积分 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩，用Ip表示。,T,应力计算式：,GIP 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,令,抗扭截面模量,二、变形几何规律,A,A,A,b,d,取一小段dx圆轴研究之，

19、如上图示,O,O,外表面上：bb,内部A：AA, 同一截面上（选择了参考面后）， 相同,变形几何规律,三、物理关系,剪应力分布规律：,3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动， 横截面上点沿圆周线位移， tr 与半径线垂直，且顺着 T的方向。,1）同一截面上， tr 与 r 成正比，即 tr 沿半径线线性分布,2）同一截面上，tr在同一圆周上有相同的大小。,T,T,五、静力关系,横截面上内力系合成的结果,T,T,内力合力T,令,横截面对形心的极惯性矩,仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。,抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。,六、公式的适用范围,1、圆

20、轴扭转,2、弹性范围内,五、 IP、WP的计算,1、实心圆轴,2、空心圆轴,2、设计截面尺寸：,3、设计载荷：,六、强度条件：,1、校核强度：,其中称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：,扭转变形、扭转刚度条件,1、扭转变形扭转角,抗扭刚度,为了描述扭转变形的变形程度，引入单位长度扭转角的概念。物理意义：相距单位长度的两横截面在扭转变形过程中相对错动的角度。,单位,或,讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布,圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。,-(3),最大剪应力在圆轴表面处。,截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；,剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直

21、，指向由截面扭矩方向确定。,3. 力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图，有：,-(3),利用(3)式，得到：,3. 力的平衡关系,令：,Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。,T,o,r,tmax,tmax在圆轴表面处，且,求Ir，WT ?,9.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有：,a=d/D,圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,空心圆轴,研究思路：,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直于半径，指向

22、由扭矩的转 向确定。,2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tr=Tr/ Ir tmax=T/WT,讨论：,2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？,相同,相同,不同,前节回顾（圆轴扭转问题）,剪应力 t 在横截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向确定。,单位扭转角为： d/dx=T /GIr,内力是扭矩 T,最大剪应力在表面处(r=r)，且 tmax=T /WT,极惯性矩抗扭截面模量,四、圆截面的I p 与 W p 的计算,实心轴,空心轴,

23、令,则,实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比,应力分布,9.3.3 圆轴的扭转变形,单位扭转角为：,若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。,例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。,解: 1) 画扭矩图。,2) 计算各段应力:,AB段：,N-mm-Mpa单位制,2) 计算各段应力:,BC段：,故 tmax=86.7Mpa,3) 计算扭转角AC,N-mm-Mpa单位制,9.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件,拉压,ss/n (延) = sb/n (脆),max,1.强

24、度条件,轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr,扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。,单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIr,扭转刚度条件则为： qmaxq -许用扭转角,机械设计手册建议：q =0.250.5/m; 精度高的轴； q =0.51.0/m; 一般传动轴。,2.刚度条件,扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核； 确定许用载荷（扭矩）； 设计轴的几何尺寸。,解: 1) 画扭矩图。,例4. 实心圆轴如图，已知MB=MC =1.64kN.m， MD=2.18kN.m 材料G=80GPa，t=40MPa ， q

25、=1/m，试设计轴的直径。,最大扭矩在AC段，且,N-m-Pa单位制,2) 按刚度设计，有：,同时满足强度与刚度要求，则应取取大者,讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。,重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。,例5. 联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若=80MPa，j=120MPa。试确定许用的扭矩M。,2)考虑 螺栓剪切 强度: =FQ/(d2/4) 有： FQd2/4=25.12 kN,2)考虑 螺栓挤压 强度： j=Fj/Aj=Fj/tdj 有: Fj tdj=28.8kN,M=minMi=15.7 kN.m

26、,由平衡条件有 4FQ(D1/2)=M M剪=4FQ(D1/2) 425.120.16=16.1 kNm,由平衡条件有： 4Fj(D1/2)=M 故 M挤=428.80.16=18.4 kN.m。,圆轴扭转,剪应力 t 在横截面上线性分布。,杆的拉压,抗扭刚度,抗拉刚度,圆轴扭转,杆的拉压,强度设计,刚度设计,2、扭转刚度条件,以每米弧度为单位时,以每米度为单位时,许用单位长度扭转角,例 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930Nm,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，=70MPa.校核此轴的强度。,（1）计算抗扭截面模量,cm3,（2） 强度校核,满足强

27、度要求,例 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，=40MPa,G=80103MPa, = 1 /m。,（1）计算扭矩,轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则,Nm,马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为,（2） 计算轴的直径,选取轴的直径 d=4.5cm。,（3）校核轴的刚度,例 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2

28、/m，试校核轴的强度和刚度。,(1) 计算外力偶矩,(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:,(3) 强度校核,满足强度条件.,(4) 刚度校核:,故满足刚度条件,、扭转应力切应力,A、根据以上结论：扭转变形横截面上的切应力分布如图a)所示,横截面上任一点处的切应力的大小 与该点到圆心的距离 成正比。,B、切应力计算公式,令,抗扭截面系数,T为横截面的扭矩 为横截面上欲求应力的点处到圆心的距离Ip为横截面对圆心的极惯性矩。,C. Ip 与 Wp 的计算,实心轴,极惯性矩Ip是只与横截面形状，尺寸有关的几何量。,极惯性矩I与抗扭截面系数Wn,圆轴扭转时的变形,

29、*若为等扭矩、等截面,*若为阶梯扭矩、阶梯截面,GIp：抗扭刚度,单位长度扭转角：,圆轴扭转时的强度和刚度计算,一、圆轴扭转时的强度条件,1. 等截面圆轴：,2. 阶梯形圆轴：,五、圆轴扭转时的强 刚度设计,二、圆轴扭转时的刚度条件,圆轴扭转时的强度和刚度计算,若 的单位用 /m，则刚度条件式为：,许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素决定，具体数值可从机械设计手册查得。,应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决校核、设计和确定许用载荷三大类问题,/m,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和，校核强度,已知T 和， 设计截面,已知D 和，确定许可载荷,已知T 、D 和 ，校核刚度,已知

30、T 和 ，设计截面,已知D 和 ， 确定许可载荷,圆轴扭转时的强度和刚度计算,已知：P7.5kW， n=100r/min，最大剪应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,空心轴,d20.5D2=23 mm,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246

31、 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,圆轴扭转的特点,受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶矩。 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。,圆轴扭转的分析方法,首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。,M=9550 P/n,M外力偶矩，Nm；P轴传递的功率，kW；n轴的转速，r/min。,工程实际中，作用于轴上的外力偶矩，一般并不是直接给出的，而是根据所给定轴的转速n和轴传递的功率P，通过公式确定：,扭矩的正负号规定,为了使不论取

32、左段或右段求得的扭矩的大小、符号都一致，对扭矩的正负号规定如下： 按右手螺旋法则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，大拇指的指向离开截面时(与横截面的外法线方向一致)，扭矩为正；反之,拇指的方向指向截面时(与横截面的外法线方向)，扭矩为负。,解题前须知：,（1）当圆轴有多个外力偶作用时，应在相邻两个外力偶之间选取截面来求解其内力。（2）在外力偶矩作用处，其扭矩等于该截面上外力偶矩的数值。（）当横截面上的扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若求得结果为正则表示扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负则表示扭矩实际转向与假设相反。,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,按刚度条件,

33、4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,例 某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应力=50MPa，试校核轴的强度。,解：传动轴的外力偶矩为：,工作切应力的最大值：,强度足够！,例 汽车传动轴由45无缝钢管制成。已知：=60MPa，若钢管的外径D90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。,解：1、校核强度,带入数据后得：max50.33MPa60MPa;强度足够,2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)

34、,3、两轴重量比,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,空心轴,d20.5D2=23 mm,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的

35、情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,解:(1)计算截面参数,由强度条件：,由刚度条件：,该轴强度和刚度均满足要求。,(2)改为实心圆轴，求其直径。,外力不变的情况下，保持强度不变，即保持实心轴和空心轴的抗扭截面系数相等。,已求得空心轴的抗扭截面系数：,而实心圆轴的抗扭截面系数为：,则：,外力不变和材料相同的情况下，保持刚度不变，即保持实心轴和空心轴的极惯性矩相等。,已求得空心轴的极惯性矩：,而实心圆轴的极惯性矩为：,则：,等直圆杆扭转时的应变能(strain energy),在线弹性范围内，剪切变形能密度为：,剪切变形能为:,或,或,在线弹性范围内，轴向拉压杆应变能密度为：,回 顾,非

36、圆截面杆扭转,周边线上，切应力方向与周边相切,四个角点处切应力等于零,在周边线的中点处，切应力出现极值,在长边中点处切应力最大,弹性力学计算结果,例.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力偶矩。,扭转静不定问题,需要综合考虑物理、几何、平衡三个方面,解决静不定问题需要综合考虑物理、几何、平衡三个方面,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,即：,例：有一个空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为 。现在在杆B上施加外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，并在孔中装上销钉。试求在外力偶除去以后两杆所受的扭矩。,

37、分析：属于装配应力问题。外力偶除去后，内杆B和外管A通过销钉相互作用，故它们各自承受的扭矩TA、TB相等，方向相反。 变形分析：去掉力偶后，内杆带动外管转过 ，则内杆的转角为,外管扭角：,解：平衡条件,变形几何条件,物理条件,将物理条件代入几何条件,1.关于扭转切应力公式 的应用范围，试判断哪个正确？（ ）A适用于任何条件下的圆轴；B圆轴和矩形轴；C圆轴且弹性范围内加载；D. 圆轴和矩形轴且弹性范围内加载。,C,选择题练习,2. 两根长度相等、直径不等的圆轴扭转后，轴表面母线转过相同的角度。直径小的轴和直径大的轴切变模量有 ，最大剪应力分别为 ， ，扭矩分别为T1和T2 （ ）？,A. ， ;

38、,B. ， ;,C. ， ;,D. 以上答案均错误。,B,分析：,B,3. 已知：一实心圆轴和一空心圆轴材料和长度相同，横截面上受外力偶相同，如果两端相对扭转角相等, 则关于实心圆轴和空心圆轴上最大切应力，正确说法为（ ）。,A最大切应力相等,B实心圆轴的最大切应力更大,C空心圆轴的最大切应力更大,D无法判断哪个最大切应力更大,C,分析：,相同,材料和长度相同，横截面上受外力偶相同则,4.一内外径之比为的空心圆轴，受扭转时，横截面上最大切应力为，则内圆周处的切应力等于（ ）。,A.,B.,C.,D.,B,分析：,m,C,B,A,a,b,5.两端固定的圆截面等直杆，在截面C受外力偶矩m作用大小保

39、持不变，则使AC段扭矩增加的方法有（ ）。,A、 增加a,B、 减小刚度,C、 增加b,D、 增加刚度,C,A,6.受扭转组合圆轴，材料相同，直径分别为d和2d，单位长度扭转角相同，则有（ ）。,A.,B.,C.,D.,D,分析：单位长度扭转角,7.低碳钢和铸铁圆轴受扭破坏时，正确说法为（ ）。,A. 两者都是横截面上破坏,B.低碳钢是横截面上破坏，铸铁是45度螺旋面上破坏,.铸铁是横截面上破坏，低碳钢是45度螺旋面上破坏,.低碳钢不破坏，铸铁是45度螺旋面上破坏,例 在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：

40、,小结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,提高圆轴抗扭强度的主要措施,观察如图所示搅拌机，该搅拌机的搅拌轴主要产生扭转变形，在满足使用要求条件下，如何提高搅拌机的搅拌轴强度呢？,为了提高圆轴的强度应降低max，途径有：,（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量）的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大扭转截面系数Wn和极惯性矩I。,1合理安排轮系位置,2选用空心轴,（1）在等强度、等截面的条件下，选用空心轴比

41、实心轴较合理，这样既可以节省材料，又能减轻自重。 （2）空心轴的扭转截面系数Wn和极惯性矩I都比较大，故不论对于轴的强度还是刚度，采用空心轴都比采用实心轴合理。,小孔弹性钻具,1弹簧 2钻杆 3钻套 4垫圈 5螺栓,切应力互等定理: 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,应力状态的九个应力分量中，独立的只有六个，即：,证明：单元体平衡,一传动轴如图所示，转速 ，主动轮B的输入功率 ，从动轮A，C的输出功率分别为 ， 。已知轴的许用切应力为 ，许用扭转角为 切变模量为 。试按强度条件和刚度条件设计轴的直径。,解

42、,按强度条件设计轴的直径,按刚度条件设计轴的直径,两端固定的圆轴，在C处受外力偶矩m作用，试求固定端处的约束力偶，并画出扭矩图。,解,一次超静定问题,力学方面,变形方面,物理方面,本章小结,外力偶矩、扭矩、扭矩图,薄壁圆筒扭转时横截面上的应力,切应力互等定理：在单元体两个相互垂直相交的表面上，垂直于交线的切应力大小相等、方向相向或相背于交线。,圆轴扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,结论： 如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏（塑性材料）；,如果材料的抗拉压能力差，构件就沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。,圆轴扭转时横截面上的应力,截面的几何性质：静矩、形心、惯性矩、极惯性矩、惯性半径,圆轴扭转时的强度条件,圆轴扭转时的刚度条件,圆轴扭转时的变形,本章作业,（1）转动轴如图所示，转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=60kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=10kW，PC=30kW，PD=20kW。试求：1） 作用在轴上的外力偶矩；2） 横截面上的扭矩。,（2）某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径D=90mm，内径d=85mm，材料的许用切应力，轴传递的功率P=16kW，转速n=100r/min。试校核轴的扭转强度。,