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1、【课标要求】1了解极坐标方程的意义2掌握直线和圆的极坐标方程3能够根据极坐标方程研究有关数学问题【核心扫描】1极坐标方程与直角坐标方程的互化(重点)2能用曲线的极坐标方程解决相关问题(难点),第三节简单曲线的极坐标方程,1曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点 的极坐标中至少有一个满足方程_，并且 坐标适合方程_的点都在曲线C上，那么 方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程,自学导引,f(，)0,f(，)0,2常见曲线的极坐标方程,r,名师点睛,2求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(，)，探 求，的关系，经常利用三角形和正弦定理3在进行两种坐标间的互化时，我们要
2、注意： (1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原 点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐 标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定 在00范围内求值(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性， 通常要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上， 若在，是等价变形；否则，不是等价变形,【思维导图】,题型一圆的极坐标方程,【例1】,思维启迪 解答本题先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的极坐标方程，化简即可,解由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，
3、A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA，在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，,【反思感悟】 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量，的关系在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系,在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹,【变式1】,解设M(，)是轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆,题型二射线或直线的极坐标方程,【例2】
4、,思维启迪 解答本题先设直线上任意一点M(，)，建立等式转化为关于，的方程，再化简即可,【反思感悟】 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程,【变式2】,将下列直角坐标方程与极坐标方程互化(1)直线xy0；(2)圆x2y22ax0(a0)；(3)cos 2；(4)2cos ；(5)2 cos 22.思维启迪 (1)(2)用公式xcos ，ysin 代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简即可(3)(4)(5)利
5、用公式2x2y2，cos x，sin y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程,题型三直角坐标方程与极坐标方程的互化,【例3】,(2)将xcos ，ysin 代入x2y22ax0得2 cos22 sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，所以圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos .,(3)cos 2，x2.(4)2cos ，22cos ，x2y22x0，即(x1)2y21.(5)2 cos 22，2(cos2sin2)2，即2cos22sin22，x2y22.【反思感悟】 在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互
6、化在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.,(1)将x2y2a2化为极坐标方程；(2)将2asin 化为直角坐标方程,【变式3】,解(1)直接代入互化公式，2cos2 2sin2 a2，2cos 2a2，这就是所求的极坐标方程(2)两边同乘以得22asin .x2y22ay，这就是要求的直角坐标方程,(2010北京高考)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是 ()A两个圆 B两条直线C一个圆和一个射线 D一条直线和一条射线解析由(1)()0(0)得，1或，其中1表示以极点为圆心，半径为1的圆，表示以极点为起点与Ox反向的
7、射线答案C,高考在线极坐标方程的应用,【例1】,点击1 考查极坐标方程的意义,(2010广东高考)在极坐标系(，)(02)中，曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标为_,点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化,【例2】,【例3】,点击3 极坐标方程的应用,【例4】,(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程,单击此处进入 知能提升演练,P15思考 在例3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线l的直角坐标方程是什么？比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？,在极坐标系中，过极点的直线方程形式比较简单，而不过极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂课后习题解答习题1.3(第15页)1解(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略),3解(1)cos 4.(2)sin 2.(3)2cos 3sin 10.(4)2cos 216.4解(1)y2.(2)2x5y40.(3)(x5)2y225. (4)(x1)2(y2)25.,
