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1、人教数学（A版）培训手册之三十八“坐标系与参数方程”介绍郭慧清数学选修44这一专题的内容为“坐标系”与“参数方程” 坐标系是坐标法思想得以实现的平台，是解析几何的基础学生学习极坐标系、柱坐标系、球坐标系等不同的坐标系，可以丰富对坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象上的特点，从而学会如何选择适当坐标系使建立的方程更加简单，研究更方便参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变一、内容和要求本专题分两讲第一讲是“坐标系”，内容包括：
2、平面直角坐标系、极坐标系、简单曲线的极坐标方程和柱坐标系与球坐标系简介；第二讲是“参数方程”，内容包括：曲线的参数方程、圆锥曲线的参数方程、直线的参数方程和渐开线与摆线本专题是在学习直线与方程、圆与方程以及圆锥曲线与方程的基础上，对解析几何内容的进一步深化本专题教学时间约18课时，具体分配如下：第一讲 坐标系 8课时 平面直角坐标系 约2课时 极坐标系 约2课时 简单曲线的极坐标方程 约2课时柱坐标系与球坐标系简介 约2课时第二讲 参数方程 10课时曲线的参数方程 约3课时 圆锥曲线的参数方程 约3课时 直线的参数方程 约2课时渐开线与摆线 约2课时1. 内容安排（1）在“平面直角坐标系”中，
3、教科书在学生已有知识基础上，着重介绍了“坐标法”和“坐标伸缩变换”的内容，引导学生学习如何根据问题的几何特征选择适当的直角坐标系，建立曲线方程，进而通过方程研究相关问题，以进一步体会坐标法思想平面图形的伸缩变换在平面直角坐标系中可以用坐标伸缩变换表示教科书以学生熟悉的的图象与的图象之间的关系为载体，从坐标伸缩变换的角度进行重新认识，引导学生进一步体会坐标法思想极坐标系是本专题的重点内容用距离与方位刻画点的位置是生活中常用的方法，极坐标系就是这种方法的“数学化”教科书在介绍极坐标系概念的基础上，从极坐标与直角坐标的互化、圆和直线的极坐标方程等角度引导学生认识极坐标系，并引导他们体会在不同的坐标系
4、中，有序数组（坐标）所体现的几何含义不同，同一几何图形的方程也有不同的形式，从而认识根据问题的几何特征选择适当坐标系的必要性、重要性为了使学生对坐标系有一个相对完整的认识，教科书对柱坐标系、球坐标系作了简单介绍，以使学生能从更多角度了解用有序数组（坐标）刻画空间点的位置的方法（2）参数方程是本专题的另一个重要内容在坐标系和参数方程中，数与形的结合、运动与变化、相对与绝对、分解与综合等思想方法十分突出，是培养学生辩证唯物主义观点的好素材参数方程是综合性很强的内容，教科书以学生熟悉的内容（直线、圆、圆锥曲线等）为载体，引导学生从参数方程角度对它们进行重新认识，学习用参数方程思想研究曲线的基本思想方
5、法，（3）在解析几何的研究中，信息技术的作用是比较容易发挥的教科书特别重视引导学生用信息技术进行探究活动，例如认识圆锥曲线参数方程中参数的几何意义，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程等2. 教学要求本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，锤炼坐标法思想，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力在实施教学时，应当注意以下要求：（
6、1）极坐标系和参数方程是本专题的重点内容教学时要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；能根据直线、圆和圆锥曲线、平摆线和渐开线的几何性质，选择适当的参数推导出它们的参数方程；能进行参数方程与普通方程的互化；通过实例明确某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，由此感受参数方程的优越性（2）平面直角坐标系中的伸缩变换、柱坐标系、球坐标
7、系等均为了解内容，目的是让学生体会坐标系的作用，了解刻画空间中点的位置的不同方法，加深对坐标法思想的认识，教学时不必作扩充（3）借助教具或计算机软件，认识常见曲线的参数方程中参数的几何意义，了解平摆线和渐开线的生成过程（4）在本专题学习结束时，让学生写出学习报告，对所学知识进行总结，思考本专题与高中其他内容之间的联系，探讨摆线的应用，交流学习本专题的感受与体会二、编写意图1强调背景，展现过程例如，在回顾平面直角坐标系时，教科书先给出了下面的思考（以下简称“声响定位”）： 给出这一问题背景，目的是让学生通过思考和比较后，能选择建立坐标系，通过坐标法解决问题，进一步体会坐标法思想，为继续学习极坐标
8、系、柱坐标系与球坐标系作准备 在介绍极坐标概念前，教科书先给出下面的问题（以下简称“校内方位”）让学生思考： 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础在引入参数方程的概念时，教科书提供下面的“探究”：这一探究的目的是让学生先感受事实：“在建立了坐标系的情况下，离开飞机的救援物资（动点）的坐标（或曲线上的点的坐标）可以用某个变量的函数来表示”，从而使参数方程的引入自然，参数的意义明确在介绍平摆线时，下面的背景不仅让学生对平摆线先有一个认识，还为参数的选择与参数方程的建立提供了准备： 从以上例子可以看出，教科书在介绍新知识、
9、新方法时，十分重视知识背景，以恰当的问题引导学生经历观察、归纳、概括、推理、交流、反思的思维过程和知识发生发展的过程，并通过思考、探究、旁白等方式鼓励学生积极参与这个过程，培养学生主动思考、自主探索的学习习惯2突出联系性知识间的联系是数学学科的重要特征，学生掌握数学知识的水平与灵活运用数学知识的能力，在很大程度上决定于他的知识的联系状态（1）重视与已有知识的联系本讲内容与三角、圆锥曲线等知识的联系是密切和自然的，教科书在关注这些联系的同时，特别重视与向量知识及向量方法的联系，并以此加强学生对解析方法的全面认识 例如，在推导双曲线、直线、渐开线的参数方程时，充分利用向量方法，使数量关系清楚明了，
10、推导过程简洁方便以下是渐开线的推导过程： 又如，在学习了抛物线的参数方程后，教科书安排了以下例题： 教科书在处理上述问题的过程中，不仅利用了抛物线的参数方程，同时利用向量的数量积来处理“垂直”关系，这样既避免了针对斜率进行分类讨论，也简化了推理过程在介绍平面直角坐标系中的伸缩变换时，教科书与三角函数图象的伸缩变换联系起来，不仅增加了学生回顾已学知识的机会，解决了认识伸缩变换的平台问题，而且使学生把更多的注意力放在了观察图象上的坐标的伸缩变换上，突出了利用坐标伸缩变换表示图形伸缩变换的坐标法思想，提升了学生对函数图象的伸缩变换的认识（2）重视教科书内部的联系在回顾“平面直角坐标系”时，教科书安排
11、“声响定位”问题不仅考虑渗透坐标法思想，还考虑了为后面极坐标的学习建立联系：在引入参数方程的概念后，教科书安排了下列习题： 上述问题不仅加深学生对参数方程的意义与作用的理解，还与引入参数方程时“投放救灾物资”的问题联系起来，使学生学会从不同角度观察处理问题（3）重视数学知识与实际问题的联系将所学数学知识与实际问题联系起来，不仅可以让学生看到数学是有用的，而且可以激励学生学习数学的热情，加强数学应用意识教科书不仅在正文方面注意给出实际问题，在例题、习题、探究与阅读材料等方面均作了安排 在得出直线的参数方程后，为让学生进一步理解坐标法思想，了解直线参数方程的应用，教科书联系“台风”这个实际现象安排
12、了如下的例： 下面的探究不仅可以使学生将椭圆规的构造原理与椭圆的参数方程联系起来，同时可以激发学生的应用与创新意识： 3重视思想性数学知识的积累是数学学习的重要任务，但是提炼数学思想方法，学会数学地思维是数学学习的重中之重坐标系、曲线的极坐标方程及参数方程是本专题的主要数学知识，而坐标法思想却是本专题的重要内容因此，重视思想性就成了本专题的重要特征（1）坐标系是数形结合的桥梁，曲线的极坐标方程、参数方程是数形结合的产物，坐标法思想是数形结合思想的重要表现形式因此，教科书在落实坐标法思想的同时，自然渗透着数形结合思想教科书在回顾“平面直角坐标系”时给出了两个具体问题，一个是来自实际生活的“声响定
13、位”（P2思考），另一个是数学本身的问题（P4例1）：这两个问题本身都没有建立坐标系，这样安排的目的就是为学生体会坐标法思想创造条件（2）从具体到抽象，从特殊到一般是人们常常采取的认识事物的思维方式，也是一种重要的数学思想方法，教科书在安排学习内容时特别重视这种思想方法的渗透例如，在处理“平面直角坐标系中的伸缩变换”这一内容时，先回顾如何由的图象通过变换得出的图象，再抽象归纳出用坐标的伸缩变换来表示图象的伸缩变换，就是基于这种考虑又如，从“声响定位”、“校内方位”到极坐标系的建立，从“圆形体育馆座位确定”到建立柱坐标系而得出柱坐标，从“航天器位置的确定”到建立球坐标系而得出球坐标，等等都是基于
14、这种考虑（3）注重类比思想在很多内容的处理上，教科书不是把结论直接陈述给学生，而是启发学生用类比的方法进行思考，自行探究并获取结论例如，在学习圆的参数方程后，学生已经知道圆的参数方程中的参数的几何意义在学习椭圆的参数方程时，教科书安排了以下思考： 学生在进行上述类比时，首先想到的是椭圆的参数方程中参数的几何意义与圆的参数方程中参数的几何意义是一致的，但随着进一步的探究与学习却发现两个参数的几何意义不同教科书安排这样的“思考”，是为学生正确理解类比思想提供反面例子在介绍完椭圆的参数方程后，教科书安排了下面的例子： 在利用椭圆的参数方程解决了上述问题后，教科书给出了下列思考： 教科书这样安排的用意
15、，是希望学生通过例1与线性规划问题进行类比，由此体会更多的最优化问题，并由此培养学生的问题意识与创新能力在学习了直线的参数方程后，为了体现参数方程在研究某些问题时的优势，教科书安排了下面的例：在解决上述问题后，教科书接着安排了下面的探究： 这样安排，不仅能使学生体会到参数方程在研究直线与圆锥曲线的位置关系时的优势，还能促使学生重新审视证明过程，用类比的方法发现证明过程在椭圆改为双曲线时亦成立，从而获得更一般的结论4重视与信息技术的整合 信息技术作为认知工具在数学学习中的重要作用是不容忽视的因此，针对本专题的许多内容便于运用信息技术进行教学的特点，教科书以边框旁白的形式给出了许多运用信息技术的提
16、示，并开辟“信息技术应用”栏目，讨论了如何在信息技术环境下认识圆锥曲线的参数方程中参数的几何意义，以及利用参数刻画圆锥曲线的形成过程三、教学建议1创设问题情景，启发学生思维，体会数学过程，改进学习方式在进行具体内容的教学时应重视问题情景，其目的不仅是为了介入数学知识，更重要的是使学生体会数学知识的发生与发展的过程，解决学生认知上的困难，启发学生的思维，改进学生学习的方式例如，在进行坐标系的教学时，无论是极坐标系，还是柱坐标系、球坐标系，都应该用好引入坐标系前设置的问题情景，使学生通过具体问题看到引入新坐标系的必要，体会新坐标系的不同作用，解决新坐标系引入时的难点，丰富对坐标系的整体认识又如，在
17、进行双曲线的参数方程的教学时，可以利用信息技术工具（如几何画板）创设双曲线的形成过程： 当学生在观察双曲线形成过程时，教师可以启发学生思考哪一个变量能确定双曲线上的动点的变化？在这样的问题情景中，学生不仅能通过积极思维找到参数，发现参数的几何意义，更重要的是学生的学习方式发生了变化，同时经历了建立双曲线的参数方程的整个过程2充分重视数学知识的联系性，使教学过程既成为学生学习新知识的过程，同时也成为已学知识的提升过程本专题的知识与三角函数、圆锥曲线、向量等知识有着天然的联系所以，教学时应引导学生多体会和思考这种联系例如，在进行极坐标与直角坐标间的互化时，可以结合互化公式，让学生回顾三角函数的定义
18、，思考这再者之间的联系与同异点同时，还可以让学生思考在学习三角变形时，下述变形与极坐标的联系：其中角的终边经过点又如，在学习圆的参数方程（为参数）时，又可以与极坐标及三角函数的定义联系起来，重新思考这三者之间的联系3强调数学思想方法，关注数学思维活动，提高学生认知水平高水平的数学教学活动不会停留在知识的传授与学习这个层次上教学时，应充分关注学生的数学思维活动，帮助他们以数学知识为载体，提炼数学思想方法，提高认知水平例如，进行“声响定位”问题的教学时，我们的关注点不应是“声响的位置在哪里”这个结果，而应是如何确定这个位置的思想方法，是选择建立坐标系解决问题时，该如何建立坐标系而使解决问题的过程最
19、简又如，进行“平面直角坐标系中的伸缩变换”的教学时，最终关注的不是图形是如何变换的，而是借助于坐标系，怎样通过坐标伸缩这一代数变换来表示图形的伸缩变换也就是说，最终关注的是坐标法思想的熏陶在进行“参数方程与普通方程的互化”的教学时，要特别重视变量变化范围的确定，以此培养学生等价变换的思想在进行“直线的参数方程”教学时，应将带方向的直线与数轴类比，使学生认识到有向直线上的点对应的参数实际上与数轴上点的坐标类似，这不仅能使学生认识参数的几何意义，通过参数的几何意义树立数形结合的思想，同时还能体会到类比是获取新知识的重要思想方法4突出教学重点，把握教学要求（1）极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、坐
20、标法思想、数形结合思想与参数法是本专题的重点教学内容（2）与以往教科书相比较，“平面直角坐标系中的伸缩变换”、“柱坐标”和“球坐标”是新增内容，但这些内容只要求了解平面直角坐标系中的伸缩变换只研究0与0的情形，教学时不要作扩充；介绍“柱坐标”和“球坐标”的目的是进一步完善学生坐标系的概念，使学生认识到坐标法思想有更广阔的应用空间 （3）根据高中数学课程标准的要求，本专题只介绍了特殊的圆与直线这些简单曲线的极坐标方程，对圆锥曲线的极坐标方程不作要求极坐标的多值性不要过多讨论，同时，对求出的极坐标方程是曲线的极坐标方程也不要求证明（4）便于与信息技术整合的教学内容如下：平面直角坐标系中的伸缩变换；柱坐标系与球坐标系；椭圆、双曲线、渐开线与摆线的形成，以及这些曲线的参数方程中参数的几何意义的认识（5）本专题的学习报告不占用上课时间，利用课外时间完成，但可以利用网络或板报的形式进行交流
