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1、例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,若P为A,B中点, 则,2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有,例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l。,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
2、m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理,复习:,2. 向量的夹角:,A,B,向量 的夹角记作:,1.空间向量的数量积:,5.向量的模长:,4.有关性质:,(1)两非零向量,(2),注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,3.A、B、P三点共线的充要条件,A、B、P三点共线,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？,C,例5 (课本例)已知
3、 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,小结,共面,3）射影,注意：在轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB,3.已知空间四边形，求证：。,证明：,4.空间向量基本定理 若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.,其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向
4、量,若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底,x1x2，y1y2，z1z2(R),a/b,(五)、空间位置关系的向量法：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,二面角的范围：,关键：观察二面角的范围,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,2、E为平面外一点,F为内任意一 点, 为平面的法向量,则点E到平面的距离为:,3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上
5、的点, 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为,几何法,坐标法,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D
6、1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设 a, b, c,依题意有| a |=| b |，于是 a b = c (a b)= ca
7、cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z = 1得n=(-2,0,1)(1) =- n,从而A1E 平面DBC1(2) ,而
8、 n =-2+0+2=0AB1 平面DBC1,例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED平面A1FD,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是 ，,设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0),
9、C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos =|cos|,设DB1与CM所成角为, 与 所成角为,于是：,(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,设L与所成的角, n与a所成的角 则 = - 或= - 于是,因此,n,n,a,a,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。,解:建立如图示的直角坐标系,则A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得 由 ，解得 ，取y= ,得n=(3, ,0)，设 与n夹角为而故
10、：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.,（3）二面角设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,例7 在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 设平面SCD的法
11、向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .,例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). ,异面直线AC1与BD间的距离,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中
12、,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与
13、平面PED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2).n 2+6-8=0，故PC面BED, PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.,(1)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断ab时，须指明a0，b0；书写向量的数量积时，只能用符号ab，而不能用符号ab，也不能用ab.,求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,答案平行,45,60,
