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1、开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（） 李 岩（）,误差理论与数据处理,清华大学本科生选修课课号：00130172,第2页,3周期系统误差的消除方法半周期法,仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心e引起的刻度示值，误差呈周期性变化，即误差,系统误差的减小和补偿,第3页,测角仪,半周期法实例,系统误差的减小和补偿,第4页,对径读数！,半周期法实例,系统误差的减小和补偿,第二章 误差的基本性质与处理第一节 概率、随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差（异常值）,第6页,在GUM中，不再使用原数理统计中的粗大误差或疏忽误差的术语，而改称“异常值” （abnormal val
2、ue)。异常值 (粗大误差）是测量过程中操作者的偶然失误或环境的突发干扰造成的。含有粗大误差的测量数据，相对于正常数据来说误差较大。对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据，或经检查是错读、错记的数据，则应舍弃。但不能在不知原因的情况下不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据，这样可能造成错觉，会对余下数据的精度作出过高的估计。因此就有一个确立判别异常值 (粗大误差）界限的问题。,异常值,第7页,两个错误做法：凭主观臆断，轻易地剔除主观认定为反常的数据，从而人为地使测得数据一致起来；不敢舍弃任一个测得数据，一概当作是正常信息。 处理原则：异常值的界限应以随机误差的实际分布范围作为依据，即超
3、出该范围的误差，可被视为异常值而予以剔除。,异常值,第8页,1） 3准则（莱以达准则 ）在测量结果（测量列）中，若某一数据的残差的绝对值 |v|3时，则剔除此数据。课堂问题讨论：如何从正态分布曲线理解该准则？,异常值判断准则,第9页,具体步骤： 1）先按Bessel公式算出实验标准偏差s， 2）然后用3s 来检查所有的残余误差vi， 若某一个|vi|3s， 则可视为粗大误差予以剔除。 3）然后重新计算标准偏差s，再将新算出的残余误差进行判断，每一次只能剔除一个vi绝对值最大的测值作为粗大误差，直到不存在粗大误差为止。课堂问题讨论：1）为什么每一次只能剔除一个vi最大的测值作为粗大误差？一次剔除
4、两个行不行？2）若vi绝对值最大的测值同时有两个相同怎么办？,异常值判断准则,第10页,特点：3准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近3s界限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|3s而导致数据被剔除的可能性很小。 在测量次数小于10次时， 3准则失效。为什么？3准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n50）的重要测量中。,异常值判断准则,第11页,2）格拉布斯（Grubbs)准则,设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，xn，其测量标准偏差为 s（x),对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留
5、。上式中系数G（，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率）查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05（一般不宜选取0.05）。,异常值判断准则,第12页,异常值判断准则,第13页,实例：在检定某量仪时，20次的测量数据值为：20.002, 20.000, 20.000, 20.001, 20.000, 19.998, 19.998, 20.000, 20.001, 19.998, 20.002, 20.002, 20.000, 20.004, 20.000, 20.002 ,19.992, 19.998, 20.002, 19.998, 可
6、计算出试用格拉布斯准则判断残余偏差绝对值最大的x1719.992(v17= 0.008）是否是异常值。解： n20，如何选取？ 由于是量仪的检定，显著性水平选为0.01 由n20和0.01查格拉布斯准则临界值G（ ，n） 得：G（ ，n）2.884,异常值判断准则,第14页,实例：在检定某量仪时，20次的测量数据值为：20.002, 20.000, 20.000, 20.001, 20.000, 19.998, 19.998, 20.000, 20.001, 19.998, 20.002, 20.002, 20.000, 20.004, 20.000, 20.002 ,19.992, 19.9
7、98, 20.002, 19.998, 解：剔除后： n14数据残差最大V=0.0037， 选显著性水平选为0.01 由n19和0.01查格拉布斯准则临界值G（ ，n） 得：G（ ，n）2.854,异常值判断准则,第15页,3）狄克逊（Dixon)准则（该准则不用计算算术平均值等）,正态测量总体的一个样本x1, x2, ， xn ，按从小到大顺序排列为 ，分以下几种情况：,异常值判断准则,第16页,异常值判断准则,第17页,异常值判断准则,第18页,例：重复测量某电阻共10次，101.0，101.1，101.2，101.2，101.3，101.3，101.3，101.4，101.5，101.7
8、。数据已按大小顺序排列，用狄克逊准则判断其中是否有粗差。 解：计算统计量，按n=10选取计算公式,查表,故数据中无异常值。,异常值判断准则,第19页,异常值判断操作原则逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i |最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个）；之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除一个超限的数据。我国在
9、GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：（1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。（2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。,异常值判断准则,第20页,第二章思考题,1）误差符合正态分布的条件是什么？ 2）实验的测得数据应该用什么数值来作为测量结果？它是否是我们可能得到的“真值的最佳估计值”？ 3）使用贝塞尔公式计算实验标准差时是否要求误差分布必须是正态分布？贝塞尔公式计算出的是什么标准差？ 4）如果没有事先采取减小或补偿系统误差的措施，也没有用更高精度的仪器或基准进行检定性测量，测量后仅凭数据处理能否减小系统误差对测量结果的影响？ 5）剔除异常
10、值时如果有两个相等的测值均符合异常值的剔除条件，能否同时将这两个测值一次一起剔除？,引子,圆柱体体积V的测量用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测量结果。,第21页,第三章 误差的合成与分配第一节 函数误差与误差合成第二节 误差分配与微小误差的取舍准则第三节 最佳测量方案的确定,1. 基本概念,直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。e.g. 游标卡尺测零件直径D。,间接测量实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。e.g. 通过测量圆柱体
11、的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得到所求的零件直径D。,函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误差。,第23页,2.函数误差的计算 a.已定系统误差,计算公式设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量 xi 的多元初等函数，其表达式为：,间接测量值,直接测量值,上式函数增量dy可用全微分形式表示为：,第24页,2.函数误差的计算 a.已定系统误差,计算公式（续）若已知各个直接测量值的系统误差可近似得到函数的系统误差为：,其中： 为直接测量值的误差传递系数。,结论：各个直接测量值的已定系统误差对函数总误差的函数已定系统误差贡献是一种代数和的形式。,第25页,应
12、用举例弓高弦长法测直径已知弓高、弦长的测得值及系统 误差如下,2.函数误差的计算 a.已定系统误差,求测量结果,第26页,应用举例-弓高弦长法测直径,2.函数误差的计算 a.已定系统误差,1、建立函数关系式：,2、不考虑系统误差，求解直径D0：,3、计算误差传递系数：,4、计算间接测量函数已定系统误差：,5、修正后的测量结果：,注：先修正后计算结果：,第27页,计算公式,2.函数误差的计算 b.随机误差,设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量 xi 的多元函数，其表达式为:,设对各个直接测量值 xi 皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为:,第28页,计算公式（续）,2.函数误差的计算
13、 b.随机误差,可得各组测量中，函数y的随机误差为：,将上述N式平方后相加可得：,第29页,计算公式推导（续）,2.函数误差的计算 b.随机误差,上式两边同时除以N（N充分大）得：,其中： 为方差,第30页,第31页,方差（回顾）,方差的性质设C是常数，则有：D(C)=0;设X是随机变量，C是常数，则有：D(CX)=C2D(X);设X，Y是两个随机变量，则有： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y) 特别的，若X，Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y),协方差量E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)或(X,Y)协方
14、差表明不为零表示X与Y不互相独立，而是存在着一定的关系。,误差间的线性相关关系表征量：相关系数性质,特征：当01时，两随机变量呈正相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地减小；当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此时两随机变量之间有着确定的线性函数关系；当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们之间不存在其它函数关系。,第32页,相关系数,函数随机误差计算特例=0 （误差间独立或线性无关
15、）=1 （误差间完全正相关）,2.函数误差的计算 b.随机误差,第33页,实际测量中相关系数的确定方法测验观察和简略计算法观察法：与标准图形比较，确定近似值,2.函数误差的计算 b.随机误差,第34页,实际测量中相关系数的确定方法测验观察和简略计算法简单计算法作图-均分-计算,2.函数误差的计算 b.随机误差,第35页,实际测量中相关系数的确定方法测验观察和简略计算法直接计算法理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。,2.函数误差的计算 b.随机误差,第36页,应用举例圆柱体体积V的测量用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测量结果。,2.函数误差的计算 b.随机误差,第37页,应用举例-圆柱体体积V的计算（续）1、确定函数关系计算体积值,2.函数误差的计算 b.随机误差,2、计算误差传递系数,3、计算相关系数,4、计算函数随机误差,按线性无关计算,第38页,函数误差计算,已定系统误差随机误差线性无关完全正相关,第39页,误差的合成,用已定系统误差修正测值随机误差和未定系统误差合成未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散性,第40页,
