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1、第2章误差的基本理论分析,本章主要内容,1 测量误差的基本概念2 表达误差的几种形式 3 误差的性质和分类 4 有效数字 5 系统误差的矫正,6 随机误差的统计学原理7 粗大误差的剔除8 误差的合成9 数据的一元线性回归分析10 测量结果的表达形式,测量误差的基本概念,基本名词,真值（True Value）：,被测量本身客观存在的实际值。真值是客观存在，但是不能测量的。计量和测量中，经常使用“理论真值”、“约定真值”和“相对真值”的概念。,理论真值：,理论上存在、计算推导出来。如：三角形内角和180,约定真值：,按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高水平所复现的单位基准。一般以法律形式
2、规定的。,如：国际千克基准,相对真值：,在满足规定准确度时用来代替真值使用的值。利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值标准仪器的测量标准误差 1/3 测量系统标准误差,基本名词,标称值：,计量和测量器具上标注的量值（通常给出准确度等级或误差范围）。,示值：,测量仪器上给出的量值，也称测量值。,测量结果与真值一致的程度。由于涉及到“不可知”的真值，只是定性的概念。定量描述：准确度等级、不确定度。,在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果的一致性。,准确度：,重复性：,测量误差：测量结果与被测量真值之差。,测量误差及其表示方法,注意：在实际测试中真值无法准确获得，因此常用约定
3、真值或相对真值代替真值来确定测量误差。,误差公理：一切测量都有误差，误差自始至终存在于所有科学试验的过程中。,误差,绝对误差,相对误差,粗大误差,系统误差,随机误差,表示形式,性质特点,引用误差,容许误差,测量误差分类,仪表误差,绝对误差的负值称之为修正值，也叫补值，一般用c表示，即c=-A=A0-Ax。仪器的修正值一般是计量部门检定给出。示值加上修正值可获得真值，即实际值。,绝对误差,绝对误差（Absolute Error）定义：测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值。,绝对误差,测量值,被测量的真值，常用约定真值或相对真值代替,相对误差（Relative Error）定义：绝对误差与被测
4、量真实值的比值。,相对误差,真值相对误差,绝对误差,约定真值或相对真值,测量值,在实际测量中，相对误差主要用来评价测量结果的准确度，相对误差越小准确度愈高。,示值相对误差,引用误差,相对误差可以评价不同被测量的测量精度，却不能用来评价不同仪表的质量。因为相对误差与被测量大小或仪表的具体示值x有关。为合理的评价仪表的测量质量，引入引用误差的概念。,引用误差,引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）定义：绝对误差与测量仪表的满量程的百分比。,该标称范围（或量程）上限,引用误差,仪表示值的绝对误差,引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定
5、值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。注意：引用误差仍然与示值有关。,最大引用误差,最大引用误差：在规定的工作条件下，当被测量平稳地增加和减少时，在仪表全量程所取得的诸示值的引用误差（绝对值）的最大者。,该标称范围（或量程）上限,引用误差,仪器标称范围（或量程）内的最大绝对误差,最大引用误差是仪表基本误差的主要型式，故称之为仪表的基本误差。,仪表的准确度等级,我国电工测量仪表的准确度等级（Accuracy Class）就是按照最大引用误差进行分级的。通常用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示。国家标准GB 77676电测
6、量指示仪表通用技术条件规定，测量指示仪表的精度等级G分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七个等级。对应的引用误差分别为：0.1、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0%检测仪器的精度等级由生产厂商根据其最大引用误差的大小并以“选大不选小”的原则就近套用上述精度等级得到。,一个电压表，其满量程为100V，若其最大误差出现在50V处且为0.12V，则最大引用误差：,则可以确定仪表等级为0.2级。,【例】,当一个仪表的等级选定后，用此表测量某一被测量时，可能产生的最大绝对误差为：,最大相对误差为：,绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限Am成正比
7、。,选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确。,仪表的准确度等级,【例】,某1.0级电压表，满度值（标称范围上限）为300，求测量值分别为300，200和100时的绝对误差和相对误差。,根据题意得,最大绝对误差为,他们的相对误差分别为：,可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。,【解】,仪表的准确度等级,注意2：由于对于同一等级的检测仪器，其绝对误差随满量程值的增大而增大，为提高测量的精确度，需要被测量与仪表的量程相适应，被测量一般应在满量程的2/3以上（相对误差小于1.5%）。,注意1：测量仪表产生的测量误差不但与仪表准确度等级有关，而
8、且还与量程有关。,容许误差,容许误差：测量仪器在规定的条件下，测量标准或规程允许产生的最大误差,工作误差：额定工作范围内仪器误差的极限值。（一般偏大）固有误差：所有影响量处于基准条件下仪器所具有的误差。影响误差：某一影响量处于额定范围，其它影响量处于基准条件下仪器所具有的误差。（如温度误差）稳定性误差：影响量保持不变情况下，规定时间内仪器输出的偏差。,容许误差描述方式(4种）：,容许误差的表示方法,容许误差通常用绝对误差来表示：,与示值有关的误差,与示值无关的固定项误差,例如，某3位数字电压表，当n为5，在1V量限时，“n个字”表示的电压误差是5mV，而在10V量限时,“n个字”表示的电压误差
9、是50mV。,一般用于模拟仪表，当5 项可忽略,用于数字仪表，n个字表示仪表末位数字代表测量值的n倍（分辨力的n倍）,某四位半数字电压表，量程为2V，工作误差为=0.025%UX 1个字，用该表测量时，读数分别为0.0012V和1.9888V，试求两种情况下的绝对误差和相对误差。解：四位半表 分辨率为0.0001V,【例】,测量误差的分类,1 系统误差(Systematic Error)2 随机误差(random error)3 粗大误差(Gloss Error),根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：,系统误差,在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在
10、测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差，简称系差。,定义：,来源：,在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，简称系差。,定量定义：,基本误差:测量设备不准确或准确度等级不高。附加误差:超过正常工作范围带来的误差。理论误差（方法误差）:测量方法、理论不完善所带来的误差。人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误 差。,系统误差特征,系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。大小、方向恒定不变或按一定规律变化可再现，可以预测用理论分析、实验验证查找原因 可修正,测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次
11、测量结果的平均值之差。,定义,定量定义：,在相同测量条件下,多次测量同一量值时（等精度测量），绝对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为偶然误差，简称随差。,来源：,测量装置本身因素；信号处理电路的随机噪声等实验环境的偶然性微小变化：温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、空气扰动、大地微震等人为因素：人员测量人员感官等（对测量值影响微小但却互不相关的大量因素）,随机误差,例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。在测量中，随机误差是不可避免的。单次测量的随差没有规律，随
12、机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正;多次测量，测量值和随机误差的总体服从概率统计规律;可用概率统计的方法处理测量数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。,随机误差特征,随机误差和系统误差特性,系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一常数（平均值）附近。测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。,射击误差示意图,粗大误差,指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。,定义：,来源：,某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。,测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误
13、（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）,测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。,注意：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。,有效数字,有效数字基本概念,定义1：考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。定义2：由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或可疑值外，其它数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效数字,测量结果保留有效位数的原则：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。,数字舍入规则,计算和测量过程中，需要对多位的近似数进行取舍，应按照下述原则
14、进行舍入处理：大于5进一：若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。小于5舍去：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。等于5应用偶数法则：若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。,数据记录、运算的准确性要和测量的准确性相适应！,误差一般只取一位有效数字（特殊情况下最多取两位有效数字），测量结果的末位数应与误差的末位数对齐,有效数字:所有准确数字和一位欠准确数字,数学：,有效数字位数越多，测量精度越高,系统误差的削弱和消除,系统误差的特征和分类,在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变
15、，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。,1）消除系统误差产生的原因2）引入修正值进行校正(最适合测量仪表使用者)3）利用特殊的测量方法消除,系统误差的削弱或消除的方法,最理想最基本的方法,1)从产生系统误差的来源上消除,基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，检定证书是否在有效期内；附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下，如温度、振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预热以消除仪器设备的附加误差；方法误差和理论误差：所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤；人员误差：提高测量人员的测量素质，改
16、善测量条件(选用智能化、数字化仪器仪表等)。注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等,方法：预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。,修正值误差=（测量值真值）实际值（A）测量值（Ax）修正值（C）,2）用修正方法减少系统误差,注意：在某些自动测量系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对测量结果中的系统误差自动进行修正。,修正值C 由计量部门检定时给出,修正值的获取方法,1）仪表的检定证书给出。2）通过理论推导求取。,【例】电流表测电流,不计电流表内阻：,计
17、及电流表内阻：,则：,修正值：,修正值的获取方法,3）通过试验求取。,通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式-按规律校正,对不断变化的系统误差：,对有规律的系统误差：,现测现修（如零点误差、增益误差等）,（如温度、湿度、频率修正等）,注意1：由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差。注意2：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明显了，往往可以把它们统归成偶然误差来处理。,消除系统误差的几种主要测量方法：替代法交换法差值法 对称测量法 正负误差补偿法迭代自校法,3）采用特殊的测量方法,替代法,替代法主要用于消除定值系统误差，操作方
18、法：在测量条件不变的情况下，用一已知的标准量去替代未知的被测量，通过调整标准量而保持替代前后仪器的示值不变，结果标准量的值等于被测量值。,测量某未知电阻R，要求误差小于0.1%。1）首先将它接入一个电桥中(如图)，该电桥的误差为1%。调整桥臂电阻R1、R2 使电桥平衡；2）取下 Rx，换上标准电阻箱 R5(电阻箱为0.1级)。3）保持R1、R2 不动，调节 R5 的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻 Rx=R5。只要测量灵敏度足够，根据这种方法测量Rx 的准确度与标准电阻箱的准确度相当，而与检流计G和电阻R1、R2的恒值误差无关，因此可以满足测量要求,【例】电桥法测电阻,通过交换被测量和标准量
19、的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良好。,第一次平衡 第二次平衡 上两式相乘、开方得：,交换法,例：在电桥中采用交换法测电阻,交换法,随机误差的处理,测量误差的数学表达,根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差和随机误差，即 A=+=Ax-A0在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差即可。在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即0。只需处理随机误差。无系差等精度测量：不考虑系统误差，各种测量因素都相同的测量。,随机误差统
20、计特性,随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有下列特性：,有界性(2)单峰性(3)对称性(4)抵偿性,概率分布密度函数,设随机变量x的值位于-与x之间的概率是x的函数F(x)：,则称F(x)为x的概率分布函数；称f(x)为x的概率分布密度函数；,为x在x1,x2之间的概率。,式中 和2随机误差的标准差和方差,随机误差的正态分布,实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律，其概率密度函数为：,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起
21、微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,随机误差的非正态分布,常见的非正态分布：均匀分布 t分布 三角分布 反正弦分布,特点：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在 该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布的概率密度函数()为：式中 a随机误差的极限值。,仪器度盘刻度差引起的误差；仪器最小分辨率限制引起的误差数字仪表的量化(1)误差数字计算中的舍入误差对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。,均匀分布,特点：主要用来处理小样本(即测量数据比较少)的测量数据。(正态分布理论只适合于大样本
22、的测量数据)t分布的概率密度函数(t)为：,和标准正态分布的图形类似；特点是分布与标准差的估计值无关，但与自由度(n-1)有关；当n较大(n30)时，t分布和正态分布的差异就很小了，当n时，两者就完全相同了。,t分布（学生分布）,（自由度）,随机变量的数字特征,测量次数,随机变量数学期望:,测量数据的数学期望,被测量的真值,无数多次测量的平均值,随机误差补偿特性:,由,得,被测量量值,数学期望:体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。,随机变量的数字特征,方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量A的数学期望为M(A)，则A的方差定义为：,物理意义：数据信号偏离期望值的程度，也是
23、信号能量的一种表示。,随机变量的数字特征,标准偏差定义为：,标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。,标准偏差意义,标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,正态分布的统计特性参数,正态分布误差的数学期望为：方差为：,数学期望：,标准差：,方差：,平均分布的统计特性参数,有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,（1）有限次测量的数学期望的估计值？,（2）有限次测量的
24、标准偏差的估计值？,对某量进行一系列无系差等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，该测量列的最佳估计值是测量列的算术平均值，并作为最后的测量结果。,算术平均值原理,设A1，A2,A3为n次测量所得的值，则算术平均值为:,算术平均值特性,若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性和充分性。,(1)无偏性：估计值 围绕被估计参数波动，且M()M（A）。,(2)有效性：的波动幅度比单次测量小。,(3)一致性：随着测量次数增加，趋近于被测量参数M(A)。,(4)充分性：包含了样本的全部信息。,有限次测量数据的标准偏差的
25、估计值,标准偏差的估计值（实验标准偏差）：,贝塞尔公式,注意：因为，所以n个剩余误差不是独立的，而只有n-1个独立变量。,一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按定义求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为剩余误差（残余误差）：,方差的估计值：,有限次测量数据的标准偏差的估计值,方差的实用算法：,方差的递推算法：,算术平均值的标准偏差的估计值,算术平均值的方差：,算术平均值的标准差：,测量列的方差估计,测量列的标准差估计,平均值的方差估计,在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，算术平均值也是随机变量，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。,结论
26、2：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。增加测量次数n，可减少标准偏差，提高测量准确度。,证明,*,故：,结论1：用平均值估计被测量比测量列任何一个数据估计可信。,n10时测量准确度增长缓慢：增加测量次数花费较大，效果较小；此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。实际测量中，测量次数一般取1020次。若要进一步提高测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。,测量精度与测量次数的关系,【例】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。,解：计算平均值
27、,计算各测量值残差：,标准偏差估计：,平均值标准偏差估计：,置信度的概念表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数。置信区间 M(A)-K(A),M(A)+K(A)K置信因子 置信概率 在置信区间内包含真值的概率P。置信概率 可信度置信度的物理意义：1 测量数据处于数学期望（真值）附近一个置信区间内的概率。2 测量数据在一个置信区间内出现数学期望（真值）的概率。,测量结果的置信度,置信区间下的置信概率可由置信区间对概率密度函数定积分求得：,置信限：k置信系数（或置信因子）,置信概率是图中阴影部分面积,测量结果的置信度,分布和标准差一定，置信区间越宽，置信概率就越大。置信区间一定，标准差越小，置信概
28、率越大。置信概率一定时，标准差越小，置信区间越窄。,置信度问题,（1）给定置信区间求置信概率。（2）给定置信概率求计算置信区间关键是确定置信因子,分布和置信因子确定后，则置信概率为：,正态分布的置信概率,正态分布：,置信概率P：,令：,正态分布的置信概率,当k=3时,区间越宽，置信概率越大,注意：误差的绝对值大于3 的概率只有0.0027，可以认为不可能发生的小概率随机事件。因此常把标准差的3倍作为正态分布下测量数据的极限误差。,置信因子K和置信概率P/(K)数值关系表格见表21。,对某电阻作无系差等精度独立测量，已知测量数据R服从正态分布，且标准差是0.2，试求被测电阻落在Ri-0.5,Ri
29、+0.5的概率。,解：已知 0.2,K=0.5,所以：,由表21得：,【例1】,对某电压作无系差等精度独立测量，测量值服从正态分布，已知被测量真值U079.83V,且标准差(U)=0.02V，试按99的可能性估计测量数据可能出现的范围。,解：已知P99 0.99,（U）=0.02V，U079.83V,所求置信区间：,由表21查得置信概率为0.99时对应的置信因子，为：,【例2】,由此可得测量值Ui的出现范围：79.78Ui79.88,t分布的置信概率,t分布：,代入置信概率定义公式：,t分布与测量次数有关。当足够大时，t分布趋于正态分布。给定置信概率和测量次数n，查表22得置信因子Kt。,t分
30、布的置信区间,【例】对某电容作8次无系差等精度独立测量，测量值如下（单位uf），试求被测电容的估计值及其置信区间（P0.99）。,Ci（75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）,解：根据平均值原理，被测电容的估计值：,测量列方差估计值：,测量列标准差估计值：,平均值标准差估计值：,当P0.99,k=7时，由表22查得Kt3.5,于是可得被测电容置信区间为：,所以被测电容真值C0以0.99的概率处于75.01至75.09之间。,（2）均匀分布的置信概率,均匀分布：,代入置信概率定义公式：,标准差：,均匀分布的测量误差不可能超过a，a为极限误
31、差。通常取，此时误差的置信概率为100。,（3）均匀分布的置信因子,时,结论：,，P1,粗大误差的剔除,粗大误差的剔除,粗大误差产生原因:测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。粗大误差出现的概率很小，处理方法是列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。,粗大误差的统计学判别准则,统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。在正态分布等精度测量中，随机误差大于3的概率仅为0.0027%，属小概率事件。,拉依达（莱特）检验法：设测
32、量数据中，测量值Ak的随机误差为k，当：,测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。,粗大误差的统计学判别准则,在实际应用中使用剩余误差和标准差的估计值：,注意：当测量次数你n10时，该准则失效。,【证明】,因为,所以,即,当n10时，,粗大误差的统计学判别准则,格拉布斯(grubbs)检验法：当测量数据Ak的剩余误差k满足：,式中，g0（n,）值由重复测量次数n及显著性水平（超差概率，1P）确定，由数理统计的方法推导。,则测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。,应注意的问题,所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。若有多个可疑数据同时超过检验
33、所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。,无系统误差（准确度较高的仪表）等精度多次测量得Ai,i=1,2,3n（1）求平均值：（2）求标准差估计值：（3）剔除粗大误差AK，若有重复（1）、（2）；（4）计算其算术平均值的标准差：（5）给出置信概率下结果：单位,粗大误差剔除小结,用准确度较高的测量仪器对某电阻进行16次等精度测量，测量结果：34.86,35.21,34.97,35.14,35.35,35.21,35.16,35.22,35.30,35.71,35.94,35.63,35.65
34、,35.70,35.24,35.36，求被测量电阻的测量结果。解：a.无系统误差；b.c.d.第13次，36.65-35.30=1.35 该值应剔除。e.重新计算15次测量的 f.,【例】,测量误差的估计和测量结果的表示,直接测量的误差估计,已知仪表量程和准确度等级，单次测量结果误差表示为：,已知仪表的基本误差或容许误差（数字表），单次测量结果误差表示为：,仪表基本误差或容许误差,仪表准确度等级,直接测量的误差估计,若进行了多次测量，则还应考虑随机误差的影响。若多次测量的标准偏差的估计值为，则测量误差为：,置信因子,已知仪表量程和准确度等级,已知仪表的基本误差或容许误差,问题：用间接法测量电阻
35、消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？误差合成的一般公式：设测量结果y是n个独立变量A1,A2，An的函数，即,y=f(A1,A2,An),与被测量有函数关系的各个直接测量值,y 为间接测量值,间接测量结果的误差估计（误差合成）,间接测量的误差估计,绝对误差传递系数,独立变量Ai的绝对误差,Ai产生的绝对误差分量,绝对误差合成一般公式,相对误差传递系数,独立变量Ai的相对误差,Ai产生的相对误差分量,相对误差合成一般公式,*重点是要确定误差传递系数C和C。,函数总误差等于各误差分量的代数和,确定误差传递系数是误差合成的关
36、键。传递系数确定的常用方法有微分确定法、计算机仿真确定法和实验确定法。(1)微分确定法 条件：适合于确切知道函数的关系式，已知y=f(A1,A2,An)。结论：（2）计算机仿真确定法（函数关系复杂，不易求导的场合,特别是多变量隐函数)（3）实验确定法（不必知道函数关系，但需要控制误差量，难度较大）,误差传递系数的确定,误差传递系数典型公式,【例】,测量结果的表示,在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差 各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和.,测量结果的表示,如含有已定系统误差y,测量结果可表示为：,若y0，即不含有可修正系统误差y,测量结果可表示为：,注意：m包括未定的系统误
37、差和随机误差。,测量结果的表示,测量结果应指明置信因子K的大小或测量结果的概率分布及置信概率P,(P0.68),(P0.99),K=1,K=2,K=3,测量结果置信概率P0.95时不必注明，其它概率均在结果以括号给出。,常见形式有：,测量单位只出现一次，且列于最后。,有效值位数与误差大小相适应。,注意：,测量结果的处理步骤,1对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；2求出算术平均值3列出残差，并验证4按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值5按拉伊达准则或格拉布斯准则检查是否有粗大误差；6如有粗大误差，剔除粗大误差重新计算算术平均值和标准差；7计算算术平均值的标准偏差：8通过仪器的容许误差或准确
38、度等级估计未定系统误差；,测量结果的处理步骤,9 置信区间的估计。根据置信概率查表查得置信因子,可得极限误差 则置信区间为：10 测量结果表示；,【例】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出P=0.997时测量结果表达式。,（2）列出残差，并验证,（3）按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值,（4）按拉伊达准则检查是否有粗大误差有无，查表第五个数据，将x5206.65，视为粗大误差 应予以剔除，剩下15个数据。,（5）重新计算15个数据的平均值：,列于表中，并验证：,以及重新计算：,（1）计算算术平均值：,（6）重新计算标准偏差估计值,（7）按拉伊达准则再检查是否
39、有粗大误差有，各,（9）置信区间估计。当置信概率P0.997，从表21查得K3。,可得置信区间：205.21-3x0.07,205.213x0.07=205.00,205.42。,，剩下数据不再含有粗大误差。,（8）计算算术平均值的标准偏差估计值,（10）测量结果表示。考虑到有效位数与误差相适应：,Ux=205.21 0.21(P=0.997),1 测量误差的基本知识 测量误差分为系统误差、随机误差和粗大误差，可用绝对误差，相对误差，引用误差（准确度等级），容许误差来表示，掌握各自概念和计算方法。,本章小结,本章小结,2系统误差的削弱或消除系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化，主要由测量
40、仪器、测量方法、测量环境和测量人员等因素引起。多次测量不能减少系统误差。系统误差的削弱或消除方法：（1）从产生系统误差根源上采取措施；（2）修正方法；（3）采用专门的测量方法。,本章小结,3 随机误差的处理随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，无法避免和控制，不能消除随机误差。但应采用数理统计的方法，减少随机误差。随机误差具有有界性、单峰性、对称性、抵偿性，算术平均值和标准偏差是表示测量结果的两个主要统计量；随机误差的置信度由置信区间和置信概率表征，要会通过查表由置信因子K求置信概率P，或由P求K；,本章小结,4 粗大误差的剔除 粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各种措施，防止产生粗大误差。对测量中的可疑数据可采用拉依达检验法或格布罗斯检验法判断是否是粗大误差，若是，应剔除不用。,本章小结,测量数据处理的一般流程：算术平均值 残差 标准偏差估计值（贝塞尔公式）剔除粗大误差；算术平均值标准偏差的估计值 根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测量结果的置信区间。正态分布时，k=23；t分布时，查t分布表得k；均匀分布时k,本章小结,5 直接测量结果和间接测量结果的估计掌握直接测量误差的估计方法间接测量误差合成的一般方法6测量结果的表示和处理掌握数据结果表示方法有效位数应和误差相适应。,
