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1、第六节 空间直线及其方程,第六章,( Space Straight Line and Its Equation),四、直线与平面的夹角,一、空间直线方程的一般方程,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,三、两直线的夹角,五、平面束,六、小结与思考练习,9/24/2022,1,第六节 空间直线及其方程 第六章 ( Space St,因此其一般式方程,(General Equation of a Space Straight Line),直线可视为两平面交线，,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,9/24/2022,2,因此其一般式方程(General Equation of,(Symmet
2、ric Expression),1. 对称式方程（点向式方程),故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,9/24/2022,3,(Symmetric Expression) 1. 对称式方,设,得参数式方程 :,3. 参数式方程,(Parametric Form ),9/24/2022,4,设得参数式方程 :3. 参数式方程(Parametric F,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组
3、,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,例1 用对称式及参数式表示直线,（补充题）,9/24/2022,5,解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,(自学课本 例1),9/24/2022,6,故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点,例 2 求与两平面x4y = 3 和2xy5z = 1 的交线平行且过点(3, 2, 5)的直线的方程.,解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以
4、取,因此所求直线的方程为,9/24/2022,7,例 2 求与两平面x4y = 3 和2xy5z,例3 求直线,与平面2xyz6=0的交点.,解：所给直线的参数方程为,x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t) + (3+t) + (4+2t)6=0.,解上列方程，得t =1. 把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为,x=1, y=2, z=2.,（由课本例3改编）,9/24/2022,8,例3 求直线 与平面2xyz6=0的交点. 解：所,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,（
5、The Angle between Two Straight Lines）,三、两直线的夹角,9/24/2022,9,则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角,特别地有:,9/24/2022,10,特别地有:9/24/202210,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,例4（由课本例4改编） 求以下两直线的夹角,9/24/2022,11,解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向,（The Angle between a Straight Lines and a Plane）,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直
6、线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,四、直线与平面的夹角,9/24/2022,12,（The Angle between a Straight,特别有:,例5 求过点(1,2 , 4) 且与平面,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,9/24/2022,13,特别有:例5 求过点(1,2 , 4) 且与平面解:,五、平面束,有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.,设直线L由方程组,所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2
7、、C2不成比例.,我们建立三元一次方程：,( III ),( II ),( I ),（Pencil of Planes）,9/24/2022,14,五、平面束 有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来,比例，所以对于任何一个,值，方程(III)的系数：,不全为零，从而方程(III)表示,一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的,值，方程(III)表示通过,直线L的不同的平面.,反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内. 通过定直线的所有平
8、面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).,9/24/2022,15,比例，所以对于任何一个 值，方程(III)的系数： 不全为零,例6 求直线,在平面x+y+z=0上的投影直线的,方程.,解：过直线,的平面束的方程为,(1+ )x+(1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0,即,(*),其中,为待定常数. 这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是,即,由此得,=-1,代入(*)式，得投影平面的方程为,2y-2z-2 =0 即 y-z-1=0,所以投影直线的方程为,9/24/2022,16,例6 求直线 在平面x
9、+y+z=0上的投影直线的 方程.,解：,9/24/2022,17,解：9/24/202217,解：,9/24/2022,18,解：9/24/202218,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,9/24/2022,19,1. 空间直线方程一般式对称式参数式内容小结9/24/202,直线,直线,夹角公式:,2. 线与线的关系,9/24/2022,20,直线直线夹角公式:2. 线与线的关系9/24/202220,平面 :,L,L / ,夹角公式：,直线 L :,3. 面与线间的关系,4. 平面束,9/24/2022,21,平面 :L L / 夹角公式：直线 L :3.,课外练习,习
10、题66 1（偶数题）；3；4（2）（4）； 6（2）；7 （偶数题）；10；12,思考与练习,D,9/24/2022,22,课外练习习题66 1（偶数题）；3；4（2）（4）；,C,C,A,9/24/2022,23,CC面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQArr,B,B,9/24/2022,24,BB9/24/202224,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,且垂直于直线,又和直线,2. 一直线过点,9/24/2022,25,解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,故所求直线方程为,则有,9/24/2022,26,设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2 利用所求直,代入上式 , 得,由点法式得所求直线方程,而,9/24/2022,27,代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而9/24/20222,
