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1、第2章 解析函数,2.1 解析函数的概念,1.复变函数的导数,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,导数的分析定义：,2022/12/23,复变函数与积分变换,导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）： （1） 其中 为复常数；（2） 其中 为正整数；（3） ；,（4）,（5）,；,2022/12/23,复变函数与积分变换,（6） ； （7） 是两个互为反函数的单值函数，且 .,.,2022/12/23,复变函数与积分变换,2.解析的概念,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022
2、/12/23,复变函数与积分变换,注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,2022/12/23,复变函数与积分变换,注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解5、解析性区域；,注解：,2022/12/23,复变函数与积分变换,四则运算法则,2022/1
3、2/23,复变函数与积分变换,复合函数求导法则,2022/12/23,复变函数与积分变换,反函数求导法则,2022/12/23,复变函数与积分变换,利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,注解：,2022/12/23,复变函数与积分变换,2.2 函数解析的充要条件,2022/12/23,复变函数与积分变换,Cauchy-Riemann条件：,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,定理3.1的证明（必要性）：,2022/12/23,复变函数与积分变换,定理3.1的证明（充分性）：,2022/12/2
4、3,复变函数与积分变换,复变函数的解析条件,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,注解:,和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；解析函数的导数有更简洁的形式：,2022/12/23,复变函数与积分变换,反例：u(x,y)、v(x,y)如下：,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,例1 讨论下列函数的可导性和解析性：,2022/1
5、2/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,例2,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2.3 初等函数,3、指数函数 4、多值函数导引：幅角函数,1.指数函数,(1)指数函数的定义,2022/12/23,复变函数与积分变换,我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：,2022/12/23,复变函数与积分
6、变换,由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有,所以，,因此，,我们也重新得到欧拉公式：,2022/12/23,复变函数与积分变换,(2)指数函数的基本性质,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2.三角函数与双曲函数,2022/12/23,复变函数与积分变换,由于Euler公式，对任何实数x，我们有：,所以有,因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：,2022/12/23,复变
7、函数与积分变换,三角函数的基本性质:,则对任何复数z，Euler公式也成立：,2022/12/23,复变函数与积分变换,关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cosz和sinz是单值函数；2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:,2022/12/23,复变函数与积分变换,3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:,2022/12/23,复变函数与积分变换,证明：,2022/12/23,复变函数与积分变换,注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如z=2i时，有,2022/12/23,复变函数与积分变换,6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：,证明：,2022/12/23,复变函
8、数与积分变换,7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是， sinz在复平面的零点是,8、同理可以定义其他三角函数：,2022/12/23,复变函数与积分变换,9、反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为z的反正切函数，记作,由于令 ，得到,2022/12/23,复变函数与积分变换,从而所以,反正切函数是多值解析函数，它的支点是无穷远点不是它的支点。,2022/12/23,复变函数与积分变换,3.对数函数,和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：,2022/12/23,复变函数与积分变换,注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2 的周期函数
9、，所以对数函数必然是多值函数，事实上。,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,对数函数的主值：,相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：,则这时，有,2022/12/23,复变函数与积分变换,三种对数函数的联系与区别：,2022/12/23,复变函数与积分变换,对数函数的基本性质,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,
10、对数函数的单值化：,相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。,2022/12/23,复变函数与积分变换,沿负实轴的割线的取值情况：,2022/12/23,复变函数与积分变换,一般区域：,2022/12/23,复变函数与积分变换,对数函数的单值化：,由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；,2022/12/23,复变函数与积分变换,特点：1、当z绕它们连
11、续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。,2022/12/23,复变函数与积分变换,例1,2022/12/23,复变函数与积分变换,例2,2022/12/23,复变函数与积分变换,例3,2022/12/23,复变函数与积分变换,4.幂函数,利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为,2022/12/23,复变函数与积分变换,当a为正实数，且z=0时，还规定,由于,因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。,2022/12/23,复变函数与积分变换,幂函数的基本性质：,2022/12/23,复变函数与积分变
12、换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地 有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则， 的这个单值连续分支在G内解析，并且,其中 应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。,2022/12/23,复变函数与积分变换,对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，,在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数,在G内是同一解析函数；当,时，,在G内有无穷多
13、个解析分支，是一个无穷值多值函数。,2022/12/23,复变函数与积分变换,例如当n是大于1的整数时，,称为根式函数，它是,的反函数。当,时，有,这是一个n值函数。,2022/12/23,复变函数与积分变换,在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：,它们也可以记作,这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。,2022/12/23,复变函数与积分变换,幂函数的映射性质:,2022/12/23,复变函数与积分变换,关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设 是一个实数，并且,在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到
14、一个区域D*。考虑D*内的角形，,并取 在D*内的一个解析分支,2022/12/23,复变函数与积分变换,当z描出A内的一条射线时,让 从0增加到 （不包括0及 ），那么射线l扫过角形A，而相应的射线 扫过角形,（不包括0），w在w平面描出一条射线,2022/12/23,复变函数与积分变换,因此,把夹角为,的角形双射成一个夹角为,的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中,以原点为心的圆弧。,2022/12/23,复变函数与积分变换,类似地，我们有，当n(1)是正整数时，,的n个分支,分别把区域D*双射成w平面的n个角形,2022/12/23,复变函数与积分变换,例1、作出一个含i的
15、区域，使得函数,在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点i个的值。,解：我们知道,可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图,2022/12/23,复变函数与积分变换,结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。,2022/12/23,复变函数与积分变换,可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到,因此也可以用0，1与 作割线。,2022/12/23,复变函数与积分变换,我们求函数下述的解析分支,在z=i的值。在z=1处，取,在w的两个解析分支为：,2022/12/23,复变函数与积分变换,如下图，,所以,2022/12/23,复变函数与积分变换,例2、
16、验证函数,在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。,解：我们知道,2022/12/23,复变函数与积分变换,2022/12/23,复变函数与积分变换,结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点。,2022/12/23,复变函数与积分变换,因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定,在w的四个解析分支为：,则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，,2022/12/23,复变函数与积分变换,所以,对应分支在(0,1)下沿的取值为,2022/12/23,复变函数与积分变换,5.反三角函数与反双曲函数,
