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1、,1. 复数列的极限 2. 级数的概念,第四章 解析函数的级数表示法,4.1 复数项级数,1. 复数列的极限,定义4.1,又设复常数：,定理4.1,证明,课堂练习:,下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,收敛, 极限为-1,发散,收敛，极限为0,2. 复级数的概念,级数的前面n项的和,定义4.2,设复数列：,例1,解,定理4.2,证明,解,所以原级数发散.,例1,由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。,必要条件,重要结论:,定理4.3,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,定理4.4,定义4.3,证明,由定理4.4的证明过程，及不等式,推论4.1
2、,另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.,?,解,例2,练习：,发散,作业,P100 2(1)(2),1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质,4.2 幂级数,1. 幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的和,例如,若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数,特殊情况，在级数(1)中,2. 收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理4.5 (阿贝尔(Able)定理）,z1,x,y,O,证明,(2)用反证法，,3. 收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数
3、的收敛范围不外乎下述三种情况：,(i)若对所有正实数都收敛，则级数(3)在复平面上处处收敛。,(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。,播放幻灯片 37,显然， ,否则，级数(3)将在处发散。,(ii)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。,(i)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,定理4.7(根值法),定理4.6(比值法),4. 收敛半径的求法,(1),(
4、2),解,(1),因为,所以收敛半径,(2),例4.2,解,综上,练习 求下列幂级数的收敛半径,例3,解,例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解 (1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的。,综上,该级数发散。,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5. 幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数的代换(复合)运算,幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.,例3,解,解,分析运算,定理4.8,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,解,解,利用逐项积分,得:,所以,作业,P101 9(1)(2),10(1),
5、1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式,4.3 解析函数的泰勒(Taylor)展开,1. 泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：任何一个解析函数能否用幂级数表达?,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理4.9（泰勒展开定理）,回忆：,-(*)得证！,证明,而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.,(1)如果 f (z)在z0解析,
6、则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|.,例如：,2. 展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。,事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Taylor级数，因而是唯一的。,-直接法,-间接法,代公式,函数展开成Taylor级数的方法：,例,解,3. 简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,间 接 法,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,（2）
7、由幂级数逐项求导性质得：,因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.,定理4.10,4. 解析函数零点的性质,性质4.3 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成,例如：,性质4.4,例如,注:,一个实函的零点不一定是孤立的.,如,事实上，,充分性略！,必要性得证！,但在复变函数中,我们有,定理,性质4.5,作业,P101 15(3);,1.双边幂级数 2. 函数展开成罗朗级数 3.展开式的唯一性及求法4. 典型例题,4.4 解析函数罗朗(Laurent)展开,一个在以z0为中心的圆域内解析的函数 f (
8、z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 需要讨论在以 z0 为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑:,只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛，且收敛于它们的和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：,设收敛半径为R：,对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到：,则当|z-z0|R1时, 即| z |R,(z 的幂级数),例如级数,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.,在收敛
9、圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积分和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数,反问题： 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数? 如果能，级数又是什么形式？先看下例.,例如，,2. 函数展开成罗朗级数,定理4.12,3. 证明思路,Cauchy 积分公式推广到复连通域,k1,k2,z,z0,证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：,证毕！,（2）级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 罗朗
10、级数的解析部分和主要部分。 其中解析部分在圆C2内收敛，主要部分在C1外 收敛，两部分合起来，构成罗朗级数，在圆环 域R1|z-z0|R2 内收敛。 当R1=0时，罗朗级数的主要部分就完全反映了 f (z)在z0的奇异性。,(3)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的 去心邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就 利用罗朗（ Laurent ）级数来展开。,4. 展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的罗朗级数。,事实上，,二、函数的罗朗展开式求法,常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法,1. 直接展开法,利
11、用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,2. 间接展开法,三、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,例1,解,三、典型例题,例2,解,练习,解,例4.7,解:,注意首项,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f (z)展成罗朗( Laurent )级数的方法：,解
12、 (1) 在(最大的)去心邻域,例4.8,(2) 在(最大的)去心邻域,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与罗朗展开式的唯一性相混淆. 所谓罗朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的罗朗展开式是唯一的.,练习：,(1)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数（T圆）在圆环域内需要把f (z)展成罗朗(Laurent )级数（L环）,(2) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数：先展开求R, 找出收
13、敛域。 Laurent级数：先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的圆环，在圆环域上展成级数。,作业,P103 17，18,1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系,4.5 孤立奇点,1. 定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=1为孤立奇点,定义4.4,这说明奇点未必是孤立的。,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点。,2.孤立奇点的分类,特点：,没有负幂项,特点：,只有有限多个负幂项,特点：,有无穷多个负幂项,考察：,内的罗朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点; 2极点; 3本性奇
14、点.,如果罗朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,说明: (1),（2）,补充定义,如果补充定义:,时,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,解,无负幂项,另解,2. 极点 若在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点.,说明：1)上式也可写成,其中 j (z) = c-m+
15、 c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 j (z0) 0 .,2）反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 j(z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点，且,定理4.13:,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,例,思考,例,3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.,注,孤立 奇点,非孤立奇点,支点(多值函数),极 点,本质奇点,可去奇点,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,罗朗级数特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,三、函数在无穷远点的性态,1. 定义,令变换,规定此变换将:,映射为,映射为,结论:,规定:,m级极点或本性奇点 .,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 级极点;,3)本性奇点 .,判别法1 (利用罗朗级数的特点),2.判别方法:,不含正幂项,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,判别法2 : (利用极限特点),如果极限,解,故这些点中除0，2外, 都是,的四级极点.,所以,因为,作业,P102 25(1)(2)，26(2)(3),
