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1、外接球四种模型,主讲：付老师,模型1 长方体外接球问题,已知长方体的长宽高分别为a、b、c，则长方体外接球直径的平方等于长宽高的平方和。,一般题目不会直接告诉你是长方体的外接球类型，必须自己去类比分析，只要出现两两垂直的三条棱都可以用。,例1.在棱锥P-ABC中，侧棱 PA、PB、PC两两垂直，Q 为底面ABC内一点，若点Q 到三条侧棱的距离分别为2、2、 ，则以线段PQ为直径的球的表面积为 .,到三条侧棱的距离恰好是以PQ为对角线的长方体三个相邻面上的三条对角线，则可得,此题可改为Q到三个侧面的距离。做题时多利用长方体，可简化问题。,例2 四面体ABCD中，已知AB=CD= ，AC=BD=
2、，AD=BC= 。则四面体ABCD的外接球的表面积为,在长方体中恰好存在相对棱相等的四面体，三条棱恰好可作为长方体的三条对角线,正四面体就可以放入正方体之中，利用类似方法可以很快求出正四面体外接球半径,模型2 三点共线型,当棱锥顶点，外接球球心，底面小圆圆心，三点共线时如图，根据勾股定理可得,此模型注意一定是三点共线才能用。所有正棱锥都是三点共线。只要题目中有提到棱锥的每条侧棱都相等，或者顶点在底面投影是底面的中心之类，都属于三点共线。还有那种底面固定，体积最大问题有些也是三点共线，在利用公式的时候，棱锥的高比半径大或者小都可以用。,每条侧棱都相等的棱柱，每条侧棱可以看做同一个圆锥的母线，所以
3、棱锥顶点,球心，底面小圆圆心三点共线。,底面圆半径可以用正玄定理,棱锥的高可以用勾股定理侧棱记做 ，此处将底面小圆半径记做,例4,代入公式可得,模型3 一条棱垂直于底面,一条棱垂直于底面时，如图可构造矩形，利用勾股定理。棱锥垂直于底面的棱记为 ，棱锥底面外接圆半径记做 ，,当底面三角形是直角三角形时也可以用构造长方体的方法。,此题可用第一种模型构造长方体，两两垂直的棱刚好是长方体的三条棱。也可以用第三种模型。,构造长方体：,利用第三种模型：,模型4 两个面垂直,如图，侧面PAC底面ABC。侧面圆心，球心，底面圆心，公共棱中点恰好构成矩形，利用勾股定理可得外接球半径。,这种类型不是很常见，常以折叠成直二面角形式出现,第四种模型关键是算对两个面的半径。三角形AMN可以用正玄定理，底面是等腰梯形，而且对角线垂直于腰。,
