《系统的数学模型ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《系统的数学模型ppt课件.ppt（148页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,第三章系统的数学模型,3.1 概述 3.2 系统微分方程的建立 3.3 传递函数 3.4 方块图及其动态系统的组成 3.5 信号流图与梅逊公式 3.6 机、电系统的传递函数,2,教学重点,建立系统微分方程传递函数系统方框图简化及梅逊公式,教学要求,掌握线性系统及非线性系统的概念掌握系统微分方程的建立掌握传递函数的概念及其求法掌握系统方框图简化法及梅逊公式,3,为什么要建立数学模型？研究分析控制系统时，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，更重要的是要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。,4,1.数学模型的基本概念：,3.1 概述,数学模型：数学模型是描述系
2、统输入输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其动态性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。,5,建立数学模型的方法：分析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列出相应的数学关系式，建立模型。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折中考虑。,6,数学模型的形式：时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程。复数
3、域：传递函数、结构图。频率域：频率特性。,7,线性系统：可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。线性是指系统满足叠加原理，即：可加性：齐次性： 或：,2.线性系统与非线性系统：,满足叠加原理的系统就称为线性系统,8,线性定常系统：,线性时变系统：,为常数,本书研究的系统,例如：火箭发射，质量的变化,9,线性系统微分方程的一般形式：,式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的常数，mn。,10,非线性系统：用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。,实际的系统通常都是非线性的，线形只在一
4、定的工作范围内成立。,为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。,11,3.2 系统微分方程的建立,分析系统的工作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次写出各元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入，输出变量之间关系的微分方程；写成标准化形式，将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式左侧，且各中阶导数项按降幂排列。,12,13,14,1、机械系统：,方法：达朗贝尔原理作用于每一个质点上的合力与质点惯性力形成平衡力系。,（1）直线运动图所示常见
5、的质量-弹簧-阻尼系统，当系统有外作用力fi (t)时，求质量块的位移xo(t)。分析：输入量fi(t) 输出量xo(t),15,例1：求图示系统的数学模型。,解：,16,例2：求图示系统的数学模型,解：以y1(t)表示两弹簧串联的位移，取隔离体进行受力分析,消去y1(t)得,17,例3：求图示系统的数学模型,解：1）取m为隔离体由牛顿定理得：,解：2）由牛顿定理得：,18,例4：求图示系统的数学模型。,19,例5：求图示系统的数学模型。,解：由牛顿定理得：,整理得,20,例6：求图示系统的数学模型。解：设阻尼器B1和弹簧k1连接点的位移为x，则,(5),由式(4)得,将式(5)代入式(3)得
6、,21,2、电网络系统：,电感：,电容：,方法：基尔霍夫定律电流定律：汇集到某节点的所有电流的代数和为0；电压定律：闭合回路电势代数和等于沿回路电压降之和。,电阻：,22,R、L、C无源电路网络,一般R、L、C均为常数。,该式为二阶常系数微分方程,23,例：如下图所示，ur(t)为输入量， uc(t)为输出量，试列写该电网络的动态方程。,24,解：根据电路基本定律，得电网络的动态方程,又因为,化简得：,25,例：试列出无源电网络微分方程解：,消去中间变量，则,26,数学模型小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。,从动态
7、性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。,系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。,27,3.3 传递函数,1、传递函数的基本概念定义：在初始条件为0时，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件：t0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0。,28,例：质量-弹簧-阻尼系统的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，本系统的传递函数为：,29,传递函数的一般形式在时域中，线性定常系统均可
8、按下式描述,当初始条件均为零时，对上式进行拉氏变换，可得系统的传递函数的一般形式：,30,增益或放大系数,31,传递函数的主要特点,系统传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身参数有关，而与外界输入无关。,G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不说明被描述的系统的物理结构。,传递函数只适用于线性定常系统，它只反映系统在零初始条件的动态性能。,一个传递函数只能表示一对输入、输出间的关系。传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定的。,对于可实现的物理系统，传递函数分母中s的的阶次不小于分子中s的阶次，即mn。,32,传递函数的主要特点,传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应函数
9、 。,传递函数与微分方程可相互转换,33,2、传递函数的零点与极点,零点：B(s)=0的根zi 极点：A(s)=0的根pj；特征方程：A(s)=0，它的根就是系统的特征根。,34,2、传递函数的典型环节 环节:具有某种确定信息传递关系的元件，元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归纳为由一些典型环节组成。,35,比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：,y(t)、x (t)分别为环节的输出量和输入量。K比例系数，等于输出量与输入量之比。,比例环节的传递函数为：,36,37,积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。运
10、动方程：,其传递函数为：,T积分环节的时间常数；,38,39,实际积分环节其物理模型如下图所示:,积分环节:电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大, 则理想积分环节的传递函数为:,40,积分环节特点：输出量取决于输入量对时间的累积过程，且具有记忆功能；,如果输入突然停止（输入为零），输出仍然会保持一段时间=可以改善系统的稳态性能。,具有明显的滞后作用。 如当输入量为常值A时，由于：,输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。积分环节常用来改善系统的稳态性能。,41,微分环节输出量与输入量的导数成正比的环节，称为理想微分环节。,其传递函数为：,T微分环节的时间常数；微分环节在物理系统中不
11、能独立存在，而是与其它环节一起出现。,42,例：理想微分环节,43,上式中T=RC为微分时间常数.,当运放是理想运放, 电路中微分电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大, 则理想微分环节的传递函数为:,44,实际微分环节 在实际系统中, 微分环节常带有惯性, 其物理模型如下图所示,实际微分环节的传递函数为:,45,无源微分网络,显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,46,惯性环节凡运动方程为一阶微分方程：,形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：,K环节增益（放大系数）；T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关。,47,上例
12、表明：只要系统中含有储能元件和耗能元件,系统就会具有惯性特性。,48,一阶微分环节输入输出关系符合下方程的统称为一阶微分环节。,其传递函数为：,这类环节和微分环节一样，实际工程中是不存在的，但经常和其它典型环节一起出现。,49,振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。运动方程：,其传递函数为：,振荡环节的时间常数,阻尼比,比例系数,50,标准形式的传递函数,wn无阻尼固有频率,T周期,51,例：质量-弹簧-阻尼系统,52,二阶微分环节运动方程：,传递函数：,T时间常数,z阻尼比,K比例系数,53,延时环节运动方程：,传递函数：,t纯滞后时间,延时
13、环节与惯性环节的区别：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才能接近所要求的输出值；延时环节从输入开始之初，在0t时间内，没有输出，但t=t之后，输出完全等于输入。,54,55,传递函数的典型环节,56,小结环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置和元件；一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理不同，可起到不同环节的作用。,57,58,3.4 方块图及动态系统的构成,一、系统方块（框）图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,注意
14、：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。,59,（2）函数方框（环节）:传递函数的图解表示。,函数方框具有运算功能，即：,1、方块（框）图的结构要素（1）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁边标记信号的时间函数或象函数。,60,（3）信号引出点（线）：表示同一信号不同方向的传递。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,61,（4）求和点（比较点、综合点）:信号之间代数加减运算的图解。用符号 及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此或减去此信号。,任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。,62,2、采用方
15、框图表示系统的优点可以形象地表示系统的内部情况及各环节、各变量之间的关系；可以由局部环节的方框联成整个系统的方框图，再将方框图简化，就易于写出整个系统的传递函数；可以揭示和评价每个环节对系统的影响。,63,二、动态系统的构成 任何动态系统和过程，都是由内部的各个环节构成，为了求出整个系统的传递函数，可以先画出系统的方框图，并注明系统各环节之间的联系。系统中各环节之间的联系归纳起来有下列三种：串联并联反馈联接,64,结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。,特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。,（1）串联,65,特点：各环节的输入信号是相同的，输出为各环节输出之和。,结论：并
16、联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。,（2）并联,66,内反馈：机械动力系统与过程本身内部所包含的反馈；外反馈：人为的、从外部加到系统或过程上去的反馈。目的：改善系统或过程的特性，使之符合某些特定的要求。,（3）反馈联结,正反馈：反馈信号与输入信号相加；负反馈：反馈信号与输入信号相减。,67,闭环传递函数：,误差传递函数：,68,前向通道传递函数：,反馈通道传递函数：,开环传递函数：可定义为前向通道传递函数与反馈通道传递函数乘积；亦可定义为反馈信号与偏差信号之比。,69,干扰作用下的反馈联接,只有干扰量N(s)作用时：,传递函数为：,70,只有输入量X(s)作用时：,传递函数
17、为：,71,根据线性系统的叠加原理，系统在X(s)和N(s)共同作用下的总输出为：,72,若,则,73,若,则干扰引起的输出为：,若,则,上式表明：采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。,74,三、方框图的简化,化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。,原则：1）前向通道的传递函数保持不变 2）各反馈回路的传递函数保持不变,75,(1) 相加点移动,76,(1) 相加点移动,77,(2) 引出点前、后移动
18、(分支点移动),78,注意： 相邻的信号相加点位置可以互换：,同一信号的引出点位置可以互换：,79,相加点和引出点在一般情况下，不能互换。,方框图化简时一般情况下，相加点向相加点移动，引出点向引出点移动。,80,串联方框的简化(等效)：,结构图的等效变换和简化,反馈连接方框的简化（等效）：,并联方框的简化（等效）：,例1：如图所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方框图，并求系统传递函数。,(a),化简过程可按如下步骤进行：,(b),(a),(1) 由(a)相加点前移得（b）;,(2) 将（b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数,得（c）；,(c),(b),(3) 再消去(c)中第二个闭环回
19、路，使之成为单位反馈的单环回路，得(d)；,(d),(c),(4) 去掉（d）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，即原系统的闭环传递函数。,(e),(d),86,例2：求下图总的传递函数,87,解：,88,89,90,91,92,4、画系统方框图及求传递函数的步骤确定系统的输入与输出；列写微分方程；初始条件为零，对各微分方程取拉氏变换；将各拉氏变换分别以方框图表示，然后连成系统，求系统传递函数。,93,例：画出下图所示系统方框图，求传递函数。,解：输入为轮轴位移x，输出为质量m的位移y； 由受力分析可得：,94,对力平衡方程取拉氏变换,画方框图,95,把方框图合并,传递函数为：,96,例 绘
20、出图示双RC网络的结构图。,97,3.5 信号流图和梅逊公式,一、信号流图的基本概念1.定义： 信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,98,（2）支路：连接两个节点的有向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。,2.基本要素（1）节点：表示方程式中的变量或信号，是所有进入该节点的信号之和，用“”表示。,99,节点分类源点：只有输出没有输入的节点；汇点：只有输入没有输出的节点；混合节点：既有输入又有输出的节点。,100,3.常用术语（1）通路：
21、沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径；（2）前向通道：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路；（3）回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路；（4）不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。,4、信号流图的绘制, 由微分方程绘制,1) 列写系统各元件的原始微分方程； 2) 取拉氏变换，并考虑初始条件，转换成代数方程； 3) 将各方程式整理成因果关系形式； 4) 将变量用节点表示，并根据代数方程所确定的关系，依次画出连接各节点的支路。,信号流图的绘制方法与画方块图差不多。但要注意两点：信号用节点表示；传递关系用带增益的支路表示。,1) 方块图中的每个方框，在信号流图
22、中用一 条支路代替，方框图中的传函函数就是支路上的增益； 2) 方块图中的信号传递线，在信号流图中用节点代替； 注意：把输入量单独用一个节点表示，画成源节点； 把输出量单独用一个节点表示，画成汇节点 3) 方块图中相加点处的负号，在信号流图中要写到相应的增益中去；相加点可用混合节点代替，所表示的变量应为相加点的输出信号；, 由系统方块绘制,信号流图与系统方块图在布局上是类似的并且有等效对应关系：,方块图与信号流图,例 画出如图所示系统方块图的信号流图。,解：用小圆圈表示各变量对应的节点A1、A2。,在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别 表示引出点和比较点，注意图中的 e1、e2。,在比
23、较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。,106,二、梅逊公式,T系统总传递函数；tn第n条前向通道的传递函数；信号流图的特征式。,L1i第i条回路的传递函数；L2j两个互不接触回路传递函数的乘积；L3k三个互不接触回路传递函数的乘积；n第n条前向通路特征式的余因子，在中，将与第n条前向通路相接触的回路传递函数代之为零后求得的，即为n。 即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的值。,107,例：利用梅逊公式求图示系统的传递函数。,108,两两互不接触回路传递函数乘积：,特征式为：,所以由梅逊公式得系统传递函数为：,109,110,
24、例：用梅逊公式求传递函数。,解：上图中有两条前向通道,故n=2，有5个反馈回路。,111,112,113,3.6 机、电系统的传递函数,1、机械网络的传递函数（见教材表3-2）2、电网络及电气系统的传递函数（见教材表3-3）3、加速度计的传递函数4、直流伺服电机驱动的进给系统传递函数,114,3、加速度计的传递函数,左图为加速计的原理图，它用于测量一个运动物体的加速度，如将加速度信号转换为电信号，对该信号进行积分，还可用于测量速度和位移。,解：设加速度计壳体相对于某固定参照物的位移为x， 为输入信号，质量m相对于壳体的位移y为输出量。,B,115,对上式进行化简并进行拉氏变换得：,若,则,B,
25、116,则加速度,即,上式表明，加速度计中质量m的稳态输出位移y正比于输入加速度xi，因此可用y值来衡量其加速度的大小。,B,117,4、机床切削过程,左图为机床的切削过程。实际切深u产生切削力f(t)，切削力f(t)作用于刀架，引起刀架和工件的变形，将它们折算到刀架上，看成刀架产生变形x(t)又反馈回来引起切深度u的改变，从而使工件、刀具到机床构成一个闭环系统。名义切深ui为输入；刀架变形x(t)为输出。,拉氏变换得：,118,根据切削原理中切削力动力学方程，实际切除量u引起的切削力f(t)为：,切削力与切除量之比,切削力与切除量变化率之比,119,根据切削原理中切削力动力学方程，实际切除量
26、u引起的切削力f(t)为：,开环传递函数,闭环传递函数,120,5、直流伺服电机驱动的进给系统传递函数,直流伺服电机驱动的进给系统,121,本系统的组成部分：驱动装置：包括放大器、直流电机和测速计；机械传动装置：包括一对减速齿轮、一副滚珠丝杠螺母和工作台；检测装置：用编码器检测工作台的位置，并将信号进行反馈；计数与比较、转换装置：将输入指令与反馈信号进行比较，并将比较后的数字信号转换为电压信号。下面分别推导各部分的传递函数：,122,驱动装置方框图,驱动装置,磁场控制直流电机,123,磁场控制直流电机,当电枢绕组内阻较大时，ia可视为常数，得,电机转矩常数,电机运动平衡方程,磁场回路方程,12
27、4,电机增益,磁场电路时间常数,电枢机械旋转时间常数,若磁场回路电感不计,125,126,机械传动装置等效转动惯量J的计算等效阻尼系数的计算等效刚度系数的计算,127,机械传动装置等效转动惯量J的计算根据能量守恒原理，系统中各转动件、移动件的总能量等于折算到某特定轴上的等效能量，本系统中有两个转动件和一个移动件，其总能E为：,折算到电机轴（即轴）上的等效能量,128,得到等效转动惯量J为：,丝杠导程,轴转速,129,等效阻尼系数的计算可根据阻尼损耗能量相等的原理进行折算。本例只计工作台和导轨间的直线阻尼，其他回转阻尼忽略不计。工作台移动阻尼损耗能量为：,折算到即轴上的等效回转阻尼损耗能为：,因
28、此等效回转阻尼系数为：,130,等效刚度系数的计算根据弹性变形产生的位能相等的原理计算等效刚度系数。分别将工作台轴向刚度和轴的回转刚度全都折算到电机轴上，加上电机轴原有的刚度，相当于三个弹簧串联，串联弹簧总的等效刚度系数k为：,131,工作台轴向弹性变形能折算到轴的等效扭转变形能为,同理，将轴的刚度系数k2，折算到轴，其等效值为,轴等效刚度系数为,132,经过等效变换后，机械传动装置可简化为右图所示系统,列平衡方程：,得,又因为,代入上式进行拉氏变换,133,机械系统的无阻尼自然频率,机械系统的阻尼比,振荡环节,134,检测装置将编码器测得的实际位移量，以脉冲数直接反馈到输入端，设传递函数ke
29、=1。,计数与比较、转换装置将指令脉冲和反馈脉冲进行比较，脉冲差值通过D/A转换，变为电压量。本环节为比例环节，增益为KC。,直流伺服电机驱动的进给系统方框图,135,例：倒立摆系统,非线性环节微分方程的线性化,该系统由小车和安装在小车上的倒立摆构成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在的平面内运动。 若有合适的控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器的姿态控制模型(姿态控制问题的目的是要把空间助推器保持在垂直位置)。,136,非线性环节微分方程的线性化,设小车和摆杆的质量分别
30、为M和m，摆杆长为 ，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为 ，摆杆与铅垂线的夹角为 ，摆杆重心的水平位置为 ，垂直位置为 。,137,画出倒立摆系统隔离体受力图,非线性环节微分方程的线性化,设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为H和V，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：,摆杆围绕其重心的转动运动 ,式中J为摆杆围绕其重心的转动惯量， 为垂直力关于其重心的力矩， 为水平力关于其重心的力矩。,摆杆重心的水平运动,摆杆重心的垂直运动 ,小车的水平运动,138,非线性环节微分方程的线性化,因为在这些方程中包含 和 ，所以它们是非线性方程。,若假设角度 很小，则 和 。可得下列
31、线性化方程：,由和可得 ,由、和得,当忽略转动惯量J时,当考虑转动惯量 时,139,3.7 Simulink仿真模型建立,例：从质量开始,140,141,小结：1、概述数学模型概念；线性系统及非线性系统。2、微分方程的建立微分方程建立的步骤；机械系统；电网络系统；微分方程增量化表示。3、传递函数传递函数的基本概念；传递函数的零点和极点；传递函数的典型环节。,142,延时环节,二阶微分环节,振荡环节,一阶微分环节,传递函数,典型环节,传递函数的典型环节,143,4、方框图及动态系统的构成方框图；动态系统的构成；方框图简化规则；画系统方框图及求传递函数的步骤。5、信号流图与梅逊公式信号流图；梅逊公式。6、机、电系统的传递函数7、Simulink仿真模型建立,144,145,能否用梅逊公式？,146,习题3-3求图示电气网络输入和输出量间关系的微分方程，图中ui为输入电压，u0为输出电压。,147,148,习题3-3(d)求图示电气网络输入和输出量间关系的微分方程，图中ui为输入电压，u0为输出电压。,i,
