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1、固体物理Solid State Physics,第一章 晶体结构第六节 晶体宏观对称性,01-06 晶体的宏观对称性, 晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现,介电常数表示为二阶张量,电位移,电位移, 对于立方对称的晶体,介电常数看作一个简单的标量, 六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内,介电常数,平行轴(六角轴)分量,垂直于六角轴分量, 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的, 原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性,晶体宏观对称性 考察晶体在正交变换的不变性, 三维情况下，正交变换的
2、表示, 矩阵是正交矩阵,晶体的宏观对称性的描述, 绕z轴转角的正交矩阵,正交矩阵为：, 中心反演的正交矩阵, 空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1,对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变,1 立方体的对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作, 物体的对称操作越多，其对称性越高, 8个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动,4)正交变换, 1个对称操作,立方体的对称操作共有48个,5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作, 4重轴、 3重轴、 2重轴的表示,2 正四面体的对称操作, 四个原子位于正四面体的四个顶角上, 金刚石晶格, 对称操作包含
3、在 立方体操作之中, 共有3个对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 8个对称操作,2) 绕4个立方体对角线轴转动,3)正交变换, 1个对称操作, 6个对称操作, 6个对称操作, 正四面体 对称操作共有24个,3 正六面柱的对称操作,1) 绕中心轴线转动, 5个, 3个,3) 绕相对面中心连线转动, 3个,4)正交变换,5) 12个对称操作加中心反演, 正六面柱的对称操作有24个,2) 绕对棱中点连线转动, 1个,对称素 简洁明了地概括一个物体的对称性,对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴, 物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作 以及其联合操作的倍数不变时 该轴为n重旋转反演轴，计为,4
4、对称素, 物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时 该轴为n重旋转轴，计为,面对角线 为2重轴， 计为2, 立方体,立方轴 为4重轴， 计为4,同时也是4重旋转反演轴， 计为,同时也是2重旋转反演轴， 计为,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是3重旋转反演轴，计为, 正四面体,体对角线轴是3重轴 不是3重旋转反演轴,立方轴是4重旋转反演轴 不是4重轴,面对角线是2重旋转反演轴 不是2重轴, 对称素 的含义, 先绕轴转动角度，再作中心反演, A点是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像, 对称素 存在一个对称面M, 用 表示,一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群, 对称素为镜面,5 群（对
5、称素）的概念, 群代表一组“元素”的集合， G E, A ,B, C, D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质：,1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性,2)存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A,3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,正实数群 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为运算法则,整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则, 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义运算法则 连续操作,单位元素 不动操作,
6、任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作 相当于C操作,A 操作 绕OA轴转动/2 S点转到T点,B 操作 绕OC轴转动/2 T点转到S点 S点转到T点,S,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点； S 转到T点； 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为, 群的封闭性,可以证明, 满足结合律,S,6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 -1, X，Y，Z轴分量, X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向,假设电场沿Y轴方向,将晶体和电场同时绕Y轴转动/2,转动的实施 电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别,应有：,将晶体和电场同时绕Z轴转动/2,同理：假设电场沿Z轴方向,所以, 再取电场方向沿111方向, 绕111轴转动2/3,晶体经历的一个对称操作, 正四面体晶体上述结论亦然成立, 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率等,点群,全部对称要素的组合称为晶体形态的对称型或点群,
