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1、人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制,任意角和弧度制,知识回顾:,同学们,我们回顾一下学过的这些角:,知识回顾:,角的定义1: 平面内从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种静态定义是从图形形状来定义角，因此角的范围是0, 360,同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角,现状生活中：体操、跳水、滑冰、转体720度的高难度动作,直体后空翻转体900度及以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角车的轮子的转动角风车,风扇叶片等转动,定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终边，端
2、点O为角的顶点。,思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?,引入新的角定义:,类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形成的角推广到任意角。为了方便规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角没有作任何旋转形成的角叫做零角,1.任意角:含任意大小的正角，负角，零角。,在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴。,角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）,角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标
3、轴上角（包含x,y正负半轴上的角）,2象限角和坐标轴上角,用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 。于是就有720 ， 540，第一象限的角也已经超越原来锐角的范畴.）,角,3终边相同的角, 观察：330 ，750角，它们的终边与30角的终边有何关系？,探究：与30 终边相同的角（含30 角本身）集合用描述法如何表示？330=30+(1)360 (k=1) , 30=30+0360 (k=0), 750=30+2360(k=2) (3)结论：,思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？,与 终边相同的
4、角（含 本身）集合用描述法又将如何表示？,例1：写出终边落在y轴上的角的集合。,解：终边落在轴正半轴上的角的集合为,S1=| =900+K3600,KZ,=| =900+2K1800,KZ,=| =900+1800 的偶数倍,终边落在轴负半轴上的角的集合为,S2=| =2700+K3600,KZ,=| =900+1800+2K1800,KZ,=| =900+（2K+1）1800 ，KZ,=| =900+1800 的奇数倍,S=S1S2,所以终边落在轴上的角的集合为,=| =900+1800 的偶数倍,| =900+1800 的奇数倍,=| =900+1800 的整数倍,=| =900+K180
5、0 ，KZ,根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧。 思考：不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系?,1 的角是周角的 用1角作单位来度量角的制度叫做角度制但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。,设=n,AB弧长为l，半径OA为r，则可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。,3弧度,3弧度,弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 . 的
6、正负由 的终边的旋转方向决定。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。, 360= ， 180= rad，,用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：,正实数,零,负实数,请运用转换公式，填写下表：,60,90,-150,270,3弧度,对比记忆：初中弧长和面积公式：,思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几个量,才能求出另外的量呢？,例2. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？,解：周长=2R=2R+l，所以l=2(1)R.,所以扇形的中心角是2(1) rad.,合 度,扇形面积是,合作探究练习1
7、：用角度和弧度分别表示:,终边在x轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合终边在第一象限角的集合终边在y=x直线上的角的集合,.| =k1800 ，kZ| =k ，kZ,.| =k900 ，kZ| =k ，kZ,3.| k 3600 k 3600+900 ，kZ| 2k 2k + ，kZ,4.| =k 1800+450 ，kZ| =k + ，kZ,思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角的集合共同特征是怎样的?,合作探究练习2.在0到360度(02）范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？,（1）-120（2） （3） -950 12（4）,所以与-120 角终边相同的角是24
8、0 角,它是第三象限角。,所以与 角终边相同的角是 ，它是第四象限角。,所以与-95012 角终边相同的角是12948 角，它是第二象限角。,（2）因为,解（1）因这-120=-1360 +240 ,（3）因为-95012 = -3360+12948,（4）因为,所以与 角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。,小结：1.在0到360度（02)内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以3600(2)所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：度数除以3600(2），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。,2.判断一个角是第几象限角，方法是：把所给角 改写
9、成 ： 0+k 3600 ( KZ,00 03600) 的形式， 0在第几象限, 就是第几象限角。,0 +k2 ( KZ, 0 02 ),合作探究练习3：(1)在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为 ，面积为2R 2的扇形的中心角等于 弧度。(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度?,解：（1）240= ，根据l=R，得,(2)需顺时针转90度,即为,根据S= lR= R2，且S=2R2.,所以 =4.,课堂小结： 1.任意角：角的不同分类：正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角终边相同的角集合表示: 2.角度制和弧度制的转化：,1=,1 rad,3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制),
