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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李明月 2. 张亚鲜 3. 杨曼 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012年9月1日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城区土壤重金属污染分析与地质环境综合评价摘 要为掌握城市化过程中重金属对城区土壤的污染现状，分析重金属污染的主要原
3、因并确定污染源点的位置，本文针对城市表层土壤重金属污染问题,在题中给出的数据的基础上，以表层土壤重金属浓度为切入点，建立了三个模型,模型一是单因子内梅罗指数综合评价模型,模型二是spss因子分析模型,模型三是空间连续点核心估计模型，并且运用数值分析、多元统计分析和空间连续点核心估计等相关知识与算法，得出有关城市环境质量评价的相关结论。最后经过讨论分析，对模型做出改进和推广。模型一:单因子内梅罗指数综合评价模型。我们借助MATLAB软件，画出该城区8种重金属浓度的空间分布图。同时采用单因子污染指数法，对不同区域的8种重金属污染程度进行分析。考虑到不同区域重金属污染程度不同，我们定义了土壤污染综合
4、评价指标，运用内梅罗综合指数法得出生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区的综合评价值为3.169436，13.53237，1.251947，9.484256，2.733434，表明山区重金属污染程度最轻，工业区污染最严重。模型二 :spss因子分析模型 依据因子分析原理，分别用几个公共因子来解释该城区不同区域土壤8种重金属污染指标，借助SPSS软件得出不同区域污染因子载荷值，并结合不同功能区域污染的具体情况，进行综合分析得出整个城区重金属污染的主要原因：工矿企业污染、燃煤污染、交通污染和居民生活污染。模型三 :空间连续点核心估计模型污染源的位置的确定与金属传播特征密切相关,同时联系样品数
5、据,分析数据及浓度空间的连续分布特征,利用点核心估计模型的逆运用,根据问题一的元素浓度空间分布图,寻找出浓度峰值的大致区域,主观确定的区域半径,找出覆盖区域内的样品观测点,进而建立以污染源强度最大为目标函数,求解污染源坐标点的核心估计数学模型.核心估计的目的是根据根据采样点元素浓度值获得元素的变量概率密度的平滑估计值.选择合适的带宽就能得出一个质量高的概率密度估计值，并由此确定污染源的位置。关键词：单因子指数 内梅罗指数 综合评价 因子分析 多元统计分析 空间连续点核心估计一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证
6、，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城
7、区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、问题分析(1)问题一 ：如何给出八种主要重金属在该城区的空间
8、分布？根据附件1 给出的319个采样点的地理位置，及其所属功能区的编号用matlab软件作出该城区的大致散点分布图，然后根据附件二给出的8种主要重金属元素的浓度数据我们可以利matlab作图工具作出每种重金属元素浓度的等值线分布图。从图上颜色区域的深浅可以比较直观的观测出每种重金属的大致分布,得出每种功能区的重金属元素分布。(2)问题二：怎样分析该城区内不同区域重金属的污染程度？不同的功能区，重金属元素的空间分布就会有所差异，一方面是长期自然形成的结果，另一方面也受人类活动及周边的环境影响。根据附件给出的数据我们用单因子评价方法计算出各个功能区的8种重金属污染程度单项污染指数法公式为；式子中为
9、j区域第i种重金属元素的污染指数，当1时，表示受重金属元素污染，越大，表示受重金属元素污染程度越严重；当1时，表示未受重金属污染。然后再用N.L.Nemerow(内梅罗)指数进行分析，内梅罗指数是一种兼顾极值或称突出最大值的计权型多因子环境质量指数，它的基本计算公式计为=(max)2+(ave)2/21/2式中max为各单因子环境质量指数中最大者，ave为各单因子环境质量指数的平均值。(3)问题三:怎样通过数据得出重金属污染的主要原因？要说明重金属污染的主要原因，就要知道不同区域内不同金属元素的污染程度大小，这可以通过问题一求得。重金属的污染可能与机械制造和化工等企业污染排放、人为活动、土壤本
10、质及尾气排放有关。由于不同区域重金属污染来源有所不同，而同一区域重金属污染来源极有可能相同，因此利用重金属元素之间的相关性分析，分别对五个区域污染环境进行考虑，找出各个区域重金属污染。(4)问题四：怎样根据重金属污染物的传播特征确定污染源的位置？根据每种功能区的重金属含量变化分布图，结合重金属污染物的传播特征,对该功能区的八种重金属的污染程度进行排序，这样对每个功能区的重金属污染程度就有个初步的定位。然后结合该种功能区对其环境情况进行分析，从附件给出的数据得出，从平面角度：以污染物浓度较高的地理位置（设为圆心）向周围扩散，从区域划分角度：工业区交通区生活区公园绿化区山区。但是有一点我们必须考虑
11、在内，即所给的八种重金属不都是会扩散的，也就是说，其在土壤中的稳定性很强，在一定时期内是不会传播的，那么我们在确定污染源的时候，就进行模糊聚类，将一些传播明显的元素进行等级划分梯度分析，进而得到最速下降最快的方向，然后就得到了污染源的位置。(5)问题五:分析所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,收集信息,建立模型解决城市地质环境质量评价问题。由于题目所给出的信息和数据比较片面和单一,要反映地质环境的演变,模型有很大局限性.为此,需要搜集相关信息,来更全面地对城市地质环境的质量进行评价.我们采用综合评价,得出各评价单元质量综合评价指标值,然后绘出指数等值线,在此基础上对全区地质
12、环境质量作出评价。新模型可以用来衡量和预测地质环境条件对区域性综合开发和某种开发建设的适宜程度,具有相当高的实用性。三、模型假设1、我们将土壤理想化为成分均匀的介质，根据生物上五点取样法的原则，所取的样点要具有偶然性，不带有任何标志，而且所取的样点分布要尽量均匀，这样所得结果才更接近实际情况。2、如题所述，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，假设所取的319个采样点都足够具有代表性，重金属的含量不会因为采集时间的差异而出现变化，能够真实地反映出该区域的重金属元素分布情况。3、假设每类区表层土壤中每种重金属含量连续
13、变化，在对采样点分析时，忽略土壤PH值、温度、气候等因素对测量带来的影响；4、在对每类区域的污染程度进行分析的时候，忽略考察的8种重金属以外的重金属污染，忽略重金属由于土壤特性和氧化还原等一系列的物理和化学作用，给污染程度评价带来的误差。四、符号说明：j区域第i种重金属元素的污染指数；：j区域第i种重金属元素含量的实测值；：第i种重金属元素污染程度评价的标准值；:第种污染物的综合污染指数;:污染指数的平均值;:染指数的最大值;A:评价目标；Y：构成评价目标的评价因素集；（i=1,2,3,m）：价因素；（j=1,2,3,m）：对的相对重要性数值；X=x1,x2,xn：参与决策的群体集合；Y=y1
14、,y2ym：m个备择方案；) (k=1,2，n)：中排在的前面的元素的个数；P：判断矩阵；：判断矩阵的最大特征值；：所求的特征向量；：第i个样本的第j个指标值。五模型建立5.1模型一 :单因子内梅罗指数综合评价模型5.1.1 单因子指数 单因子指数评价模型是反映某个单项因子对结果影响情况，能够比较直观的反映环境中各项重金属元素污染指标的情况。单因子评价方法如下：单项污染指数法公式为；式子中为j区域第i种重金属元素的污染指数；为j区域第i种重金属元素含量的实测值；为第i种重金属元素污染程度评价的标准值；当1时，表示受重金属元素污染，越大，表示受重金属元素污染程度越严重；当1时，表示未受重金属污染
15、。5.1.2 内梅罗污染指数内梅罗指数是一种兼顾极值或称突出最大值的计权型多因子环境质量指数,不仅考虑到了所有评价因子单项污染程度的平均水平,而且还注重到了最大污染指数,因此能够更科学地反映评价区域内总体土壤环境污染程度. 评价公式如下:式中为污染指数的平均值，为污染指数的最大值。当1 时，表示受重金属元素污染； 值越大，表示受重金属元素污染程度越严重；当1时，表示未受重金属污染。5.1.3 评价分级标准采用国家土壤重金属评价标准（GB15618-1995）进行评价，评价标准见表1、表2 表1 土壤各种元素污染程度分级标准 等级划分 1 2 3 4 单因子污染指 1 12 2 3 3 数污染程
16、度 非污染 轻度污染 中度污染 重度污染表2 土壤综合污染程度分级标准等级划分 1 2 3 4 5综合污染指 0.7 0.71 12 2交通区生活区公园绿地区山区.6.1.3模型的结果分析由实际生活情况可知，评价结果非常合理。在工业区、生活区和主干道路区，由于大量化工原料、污染气体及工业废水的排放，使土壤中重金属元素浓度上升，土壤污染严重。主干道路区属于交通繁忙地带，车辆排放大量污染气体，尤其是铅污染严重。生活区的人口数量多、密度大，基础设施建设薄弱，居民生活垃圾无害化水平比较低，包装废物的数量增加，重金属污染严重。而公园绿地区，由于人们采取积极的措施进行控制，降低了污染程度。山区内人为活动较
17、少，重金属污染程度较轻。6.2 模型二模型求解对该城区土壤地质环境重金属元素含量的数据标准化处理后，经SPSS13.0统计软件进行因子分析，可得出以下结果：Cr和Ni的相关性最好，相关系数最大，为0.716，其次为Pb和Cd，相关系数为0.660，以下依次是Cr和Cu，Pd和Cu的相关性较好，相关系数分别为0.532和0.520，Ni和Cu的相关系数为0.495，Pb和Zn相关系数为0.494，其他元素之间的相关系数相对较低。从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。因子分析的关键就是利用相关系数矩阵求出相应的因子的特征值和累计贡献率，用SPSS13.0统计软件计算可得出
18、。特征值和累计贡献率因子旋转前旋转后总体特征值百分率累计贡献率总体特征值百分率累计贡献率13.5644.544.51.82722.83422.83421.1514.37758.8771.52519.06341.89730.96512.06370.9411.04513.06854.96540.7689.56980.5371.03212.89867.86350.5787.2287.7561.0212.74480.60760.4325.39993.1561.00412.54993.1566.3 模型三问题一中的As的浓度空间分布图形可知As有4个污染源,结合附表2采样点的坐标利用Matlab编程求解
19、得到As元素的4个污染源位置坐标和各点的As的浓度,其他重金属元素均按此模型进行求解得到结果如表9:表9.重金属污染源的位置坐标重金属元素污染源序号 (m) (m)重金属元素污染源序号 (m) (m)As15070.8467289Hg13046.7652741.23526839.756974.25213606.642654.091312838.312999.154315175.158838.846417813.699968.846Ni13762.9094941.909Cd12554.5452639.727221983.511868.4224443.4552164.045Pb12433.8268
20、6.734425.1435201.35724817.5335062.933421612.7311467Zn13762.9094941.909Cr14247.3754819.2529326.2734315.727Cu13046.7652741.235312485.673057.7523762.9094941.9094139139652.5由污染源点的位置确定其空间分布,对照城区平面图,结合重金属污染的传播特征,我们发现污染源点多位于生活区与工业区,交通区也有污染源点的存在.这主要与人类的生产生活有关,工业区的制造业,化工业等涉及到众多机械,电子,生产过程中排放含有As、Cd 、Cu、 Hg等众多
21、重金属的工业“三废”,是城市土壤重金属污染的主要来源;生活区的人类活动,生活垃圾的随处堆放也使得生活生产资料中的重金属侵蚀到土壤中去,是城市土壤重金属污染的重要污染源.另一方面,由海拔地形图和污染源分布特点,结合取样点位置所属功能区平面分布图可以看出污染源主要分布在海拔较低的平原地带,这说明人类的活动相比自然对重金属污染程度大,且部分呈现重金属复合分布,从而印证了元素的相关性分析结果是正确的,西南地区污染相对严重,这里是该城区区的下游地区,上游的污染物容易在此富集叠加,形成高浓度污染. 七、模型的评价与推广7.1、模型的优缺点71.1优点根据因子分析法和主成分分析法的特点，用于分析污染的原因和
22、确定污染源位置。确定了污染源的具体位置的坐标，并与图形相结合，作出定性分析，增加可信度。利用MATLAB、SPSS和EXCEL软件计算求解，作出各种图表，简便直观。 污染物浓度等值线图与城市功能区的结合图，能直观发现不同污染物在各个功能区的的分布状况。7.1.2 缺点由于地质环境的影响因子较复杂，在问题四中只给出建模思路，而没有足够的真实的数据进行检验，可能会出现一定的偏差。7.2模型的推广本文中建立的模型，都是以完善可靠的理论作为基础，实用性强，能够推广到其他领域。例如主成分分析法可以通过对细化指标选取主要指标组合进行分析，可以推广到在工业、农业、商业等经济领域，也可用于环境、社会和军事等领
23、域。修正后的内梅罗污染指数法由于考虑了权重因素，克服了单个较大指标的影响。不仅可以评价土壤重金属浓度，还可以应用于地下水质量的评价，提高毒理型指标的影响程度，使评价更加合理。随着对内梅罗污染指数的研究，该评价方法的应用将更加广泛。当某个评价对象的影响因素较为复杂，因素种类多，各因素的影响程度不尽相同时，而作为衡量质量好坏的各因素标志及界线很不清晰时， 应采用模糊综合评价法进行分析八、参考文献1刘衍军,汤庆新,白振华,张秀玲,张保华,基于地质累积与内梅罗指数的耕地重金属污染研究,中国农学通报,第25卷第20期:174-178,2009(08).2徐建国,马震,张涛,朱恒华,地质环境质量评价的二级
24、模糊指数法,3 王守川，重金属污染来源、分布、治理方法，4郄泽平， MATLAB作图教程全 ， 5姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8.附录：（1）取样点的散点图、城区的立体空间图编程：A=xlsread(地址);x=A(:,1);y=A(:,2);z=A(:,3); scatter(x,y,5,z)%散点图 figure X,Y,Z=griddata(x,y,z,linspace(min(x),max(x),200),linspace(min(y),max(y),200),v4 );%插值 pcolor(X,Y,Z);shading interp%伪彩
25、色图figurecontourf(X,Y,Z) %等高线图 figuresurf(X,Y,Z)%三维曲面 （2）五个城区的分布图的编程：clcclearclose allD=load(ZuoBiao.dat);M=load(JinShu.dat);x=D(:,2);y=D(:,3);z=D(:,4);c=D(:,5);xi=linspace(min(x),max(x),100);yi=linspace(min(y),max(y),100);xi,yi=meshgrid(xi,yi);zi=griddata(x,y,z,xi,yi);ci=griddata(x,y,c,xi,yi);marker
26、=*,o,s,p;color=k,r,y,c,b;mat=As,Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn;str=等高线,生活区,工业区,山林区,交通区,绿地区;（3）八种重金属的分布图的编程：for j=1:8 % 等高线图形 figure contourf(xi,yi,zi,0:10:500); % set(h,ShowText,on,TextStep,get(h,LevelStep)*2) % clabel(C,h,0:10:50,50:50:300,300:100:500); title(金属 ,matj, 二维等高线分布图) xlabel(X) ylabel(Y) colormap
27、summer colorbar grid on hold on for i=1:5 loc=c=i; plot(x(loc),y(loc),markeri,markerfacecolor,colori,MarkerEdgeColor,colori); end legend(str,location,best) for k=1:length(x) text(x(k)-200,y(k)+200,num2str(M(k,j+1),fontsize,8); endend(4)五个区域的三维体图的编程：figureh=surf(xi,yi,zi);set(h,cdata,ci);colormap hsv
28、title(三维图立体（颜色条表示分类）)xlabel(X)ylabel(Y)colorbarhidden offhold onfor i=1:5 loc=c=i; plot3(x(loc),y(loc),z(loc),markeri,markerfacecolor,colori);endstr1=三维图;legend(str,location,best)（5）8种主要重金属元素在不同区域的单项污染指数如下：1区域As污染指数Cd污染指数Cr污染指数Cu污染指数Hg污染指数Ni污染指数Pb污染指数Zn污染指数2.5472222.2076921.4174193.4674244.81.5762.0
29、238713.2342031.5888891.492.5919352.0128793.1714291.5841.8593551.2910143.1805568.0346153.05741910.376525.7714291.78415.241298.7252172.1777782.6761541.8596777.3590916.0857141.5682.2845164.4527542.3611114.72307724.014849.8901524.4571432.6247.37548414.687971.5305561.9784621.7625812.1977272.9714291.0562.
30、8283873.2357972.6083332.5061545.5577427.9462122.3428572.522.9322586.2215941.1361110.6961541.1296770.8954550.4571430.8320.9383870.6788411.7638894.0923081.8551616.3454555.4571431.562.3696774.3063770.9722223.0484624.4635484.4674244.8571431.9362.9641.934351.1916673.4546152.1683873.91212191.2563.4506454.
31、270872.0583332.5946152.49258118.852272.5714291.6083.2122583.0434780.8083332.0384621.1503232.2265150.7040.73841.9529031.7820290.9166673.7538461.6509682.6174241.0714290.8641.7619351.8249281.7055561.7461541.3596775.0787881.4082861.30481.1058061.2023192.2388890.871.6903231.5765151.8674291.57520.9535480.902029
