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1、 若点在直线上, 则点的投影必定在该直线的同面投影上。 反之，若点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在该直线上。,四、 直线上的点的投影特性:,同一直线上的两线段长度之比等于其投影长度之比。即：,AK/KB=ak/kb= ak / kb= ak / kb,定比定理,【例21 】已知直线AB，求作AB上的C点，使ACCB=23。,【解】,用辅助线法作图求解。,【例22】试判断K点是否在侧平线MN上？,【解】,按直线上的点的投影特性进行判断。,方法一：作出直线和点的第三投影加以判断-,方法二：根据定比性mk: knmk:kn, K点不在MN上。,否。,【例23】已知直线CD，试在C与D之间取
2、一点E，使CE等于定长。,【解】,分析：为了在已知直线CD上取定长的线段CE，必须先求出已知直线CD的真长，然后在真长上从端点C截取CE的真长，最后按与分割直线真长相同的比例，在直线的投影上作出分点E的投影。,作图： （1）求真长cdo ；（2）取ceoCE ，求出 e 和e。,五、两直线的相对位置,1、两直线的相对位置有三种情况： 平行、相交、交叉。,共面线,异面线,【例】观察分析房屋模型中线段与线段的相对位置。,AB与EF_。CG与DH_。AB与AP_。CD与DH_。AE与CD_。AB与CG_。,平行,平行,相交,相交,交叉,交叉,空间两直线平行，则其所有同名投影必相互平行。反之亦然。 平
3、行两线段之比=各同面投影之比,投影特性,2、两直线平行,因：AB/CD，Aa/Cc,所以：ab/cd,所以：平面ABba/平面CDdc,证明：,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影, 空间两直线相交，其各组同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。,ab 、cd交于kab、cd交于k ab、c
4、d交于k,3.两直线相交,投影特性,反之，若有两条直线，其三组同面投影均相交，而且符合点的投影规律，则空间两直线必相交。,投影特性,【例3】 AB是侧平线，CD是一般线， 问：AB与CD相交吗？,答案：AB与CD不相交。AB与CD是交叉两直线。,解法一,解法二,d,b,a,a,b,c,d,c,【例4】 问：AB与CD相交吗？,总结,对于一对一般位置直线，要判断它们是否相交，只需检查任意两面投影交点的投影连线是否垂直于投影轴即可。 对于一对特殊位置直线，要判断它们是否相交，需要检查 3组同面投影相交，并且是否符合点的投影规律来判断。,在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。,交点是一对重影点
5、的投影。,4. 交叉两直线,1,2,d,b,a,a,b,c,d,c,1(2 ),3(4 ),投影特性：, 同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, 投影的“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点， 、是H面的重影点。,3,4,【例】 AB与CD是两条侧平线， 问：AB与CD两直线的相对位置？,AB与CD交叉,AB与CD不平行,AB与CD不相交,例：试判断两根水管AB和CD的相对位置，并判别可见性,2,1,2,(1),3,4,3,(4),交叉的两直线在某些特殊情况下，可以有一组或两组投影相互平行，但绝不会出现第三组投影相互平行，
6、如果三组同面投影平行，那么两直线平行。 交叉的两直线一般可以有一对、两对，甚至三对投影都相交，但投影交点觉不会符合点的投影规律。,六、直角投影定理 ,空间两相交垂直直线或两交叉垂直直线，若其中一条直线平行于某投影面，则这两条直线在该投影面上的投影仍为直角（仍互相垂直），直角的这一投影特性称为直角投影定理。,反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必相互垂直。,已知: ABH， ABBC 。 问：abcd?,分析：ABBC，ABBb，ABBbcC; ABH，abAB; ABBbcC，abBbcC，abbc。,【例】 求A点与侧平线BC的距离。,已知
7、条件,作图过程,几何分析:过点A作BC的垂线，求出垂足D，AD的长度即为所求。投影分析：BC是侧平线，根据一边平行于投影面的直角的投影特性，有adbc的关系，从而可求出垂足D,再由直角三角形法求AD的真长。作图步骤：1、作垂线；2、求垂足；3、求实长。,【解】,【例】 已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线MN，并求出这两条交叉直线之间的距离。,【解】,几何分析: 公垂线MN是与交叉两直线AB、CD都垂直的直线，垂足M与N之间的距离，即为所求。,投影分析：AB是铅垂线，MN与AB垂直，MN必为水平线。又MNCD，按一边平行于投影面的直角的投影特性，有mncd。由于AB是铅垂线，MN在AB上的垂足M的H面投影m，必积聚在ab上。,作图步骤：1、作垂线mn；2、作垂足n；3、作mn; 4、mn即为所求。,小结：23 直 线 的 投 影一、直线的投影特性二、直线上的点的投影特性三、两直线的相对位置1、两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。2、不同相对位置的两直线的投影特性3、判别两直线的相对位置4、判别交叉两直线重影点投影的可见性四、直角投影定理,
