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1、线段垂直平分线与角平分线复习,请你来帮忙,如图,在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？,线段垂直平分线与角平分线复习,三角形角平分线的性质,线段垂直平分线 角平分线,判定,尺规作图,定义,性质,三角形三边垂直平分线和角平分线的性质,线段垂直平分线与角平分线复习,你还记得吗？,逆定理,性质定理,文字语言：,文字语言：,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
2、,符号语言：,符号语言：,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点PA=PB,PA=PB(已知),点P在AB的垂直平分线上,证明两条线段相等的根据之一.,温馨提示:,证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,线段垂直平分线与角平分线复习,线段的垂直平分线,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。,如图,在ABC中,直线c,a,b分别是AB, BC,AC的垂直平分线直线c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC,三条边的垂直平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,线段的垂直平分线,性质定理,逆定理,证明线段相等,线段垂直平分线与角平分线复习,逆定理,性质定理
3、,文字语言：,文字语言：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,符号语言：,符号语言：,证明两条线段相等的根据之一.,证明一个点是否在角平分线上，从而推出两个角相等.,线段垂直平分线与角平分线复习,在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上., PD=PE PDOA , PEOBOP 是AOB 的平分线,角平分线,温馨提示:, OP 是AOB 的平分线 PDOA , PEOBPD=PE,三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.,三个内角平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,角平分线,性质定理,逆定理,证明线段相等,线段垂直平分线与角平分线复习,AB
4、C的角平分线BM、CN相交于点P，垂足分别是E、D、F ，PDAB, PEBC, PFACPD=PE=PF,尺规作图,A,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,作射线OC,则射线即为所求,O,作法：,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,已知：AOB求作：AOB 的角平分线.,线段垂直平分线与角平分线复习,尺规作图,作法：,线段垂直平分线与角平分线复习,练习 下列过程是否正确？,点P在AOB的平分线上., PD=PE,（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.,错误.,AB=AC，,APBC.（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
5、）.,P,错误.,过一个点不能确定一条直线.,【例1】：如图，在ABC中， BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求AFH的周长。,12,60,线段垂直平分线与角平分线复习,如图，在ABC中，AB=AC, BAC=120,AB的垂直平分线交BC边于点F.求证：CF=2BF,变式3,30,线段垂直平分线与角平分线复习,【例2】已知:如图, 点P是AOB内部的一点,（2）你能添加一个条件，使点P在AOB的平分线上吗？,（1）若OP平分AOB，你能得出什么结论？,B,A,C,O,P,D,若PC=PD，1+2=1800.那么点P在AOB的平分线上吗？,M,N,P
6、COA, PDOB ，垂足分别为点C和点D.,答：点P在AOB的平分线上.,理由：过点P作PMOA,PNOB.垂足分别为M、N. 1+2=180，PDN+2=180 1 =PDN 又 PMC= PND=90，PC=PD PMCPND PM=PN 又 PMOA,PNOB 点P在AOB的平分线上.,线段垂直平分线与角平分线复习,【例3】 已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？,（3）能得到什么结论?,（4）用什么定理来证明结论?,（2）缺少了什么?怎么办？,G,角平分
7、线上的点到另一边的垂线段.,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造角平分线的基本图形.,线段垂直平分线与角平分线复习,【例3】已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA， PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,证明：过点P作PGAB，垂足为点G .,G,AP平分BAD,PEAD(已知)，,PGAB(已作) ，,PEPG（角平分线上的点到角两边 的距离相等）,同理：PGPF.,PEPF(等量代换).,点P在EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）.,线段垂直平分线与角平分线复习,【例3】已知：如图，AP、
8、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,（1）若把上图中的AD、BC延长相交于点O，点P还落 在什么特殊的位置上？为什么？,G,G,由角平分线的逆定理可得点P在BOA的角平分线上.,（2）OEOF吗？为什么？,全等三角形的对应边相等.,线段垂直平分线与角平分线复习,当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.,线段垂直平分线与角平分线复习,垂直平分线 -点向两端连线段,角平分线 - 点向两边作垂线段,1.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的
9、距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P的直线MN是线段AB的中垂线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个,A,线段垂直平分线与角平分线复习,2.如图，PCOA于点C，PDOB于点D，12，下列结论不正确的是（ ）A.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODOP,D,3.如图所示，点P是CAB的平分线AD上一点，PEAC于点E，已知PE5cm，则点P到AB的距离是_.,5cm,F,4已知：如图，AOP=BOP=150，PC/OA，PDOA于点D，如果PC=4，则PD=_.,2
10、,E,线段垂直平分线与角平分线复习,5、 在V型公路（AOB）内部，有两个村庄C、D. 你能选择一个学校的位置P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的学生上放学的路程一样吗？,线段垂直平分线与角平分线复习,6.已知：如图，在等边ABC中，C、B的平分线交于点I，BI、CI的垂直平分线与BC相交于E、F点. 求证：BEEFFC,A,B,C,I,E,F,线段垂直平分线与角平分线复习,分享收获.,请同学们谈谈自己的收获吧！,线段垂直平分线与角平分线复习,必做题：,布置作业,课本34页第7题、第11题.,选做题：,再见,已知：如图，在ABC中，D为BC的中点，DEBC，交BAC的平分线AE于E，
11、EFAB于点F，EGAC交AC的延长线于点G. 求证：BF=CG.,【例4】已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？,（2）怎样来理解这个条件?,求证：ADEC.,（3）怎样来证明结论?,1,2,点N在AC的垂直平分线上.,怎样来利用这个条件?,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造垂直平分线的基本图形.,同时构造了全等三角形.,H.L,线段垂直平分线与角平分线复习,【例4】 已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,证明：连接AN、CN.,求证：ADEC.,BN平分ABC，DNAB, ENBC,NDNE（角平分线上的点到角 两边的距离相等）,又1=2=90（垂直的定义） .,1,2,点N在AC的垂直平分线(已知),NANC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ）,在RtADN和RtCEN中，,DNEN (已证)，,ANNC (已证).,RtAND RtCEN（HL）,ADEC(全等三角形对应边相等).,线段垂直平分线与角平分线复习,
