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1、1.2.2 组合,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m
2、(mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车
3、票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组
4、合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数:,注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,练一练,组合,排列,abc bac cabacb bca cb
5、a,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,写出从 四个元素中取出三个元素的所有组合和排列。,你能得到求排列数 的一种方法吗？,组合数公式的推导示例,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ,这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
6、,概念讲解,（2)列出所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,解：(1) 35 (2) 120,一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？,性质2,组合数计算公式,组合数性质1：,组合数性质2：,课堂练习,1 方程 的解集为（ ）,A B C D,3 化简： ；,2 若 ，则 的值为 ；,D,0,190,4. 计算,例3,例4
7、：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,解：（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为 （2）教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组,共有种 选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种 选法。 所以教练员做这件事情的方式种数为,例5：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从
8、100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以不同抽法的种数为,（3）解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况。在第（2）小题中以求得其中1件次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为,解法2 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法种数，即,（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为,变式练习,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,排列,课堂小结,P25 练习 2、3、5,课后作业,
