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1、张世富菏泽学院 资源与环境系,第5章测量误差的基本知识,土木工程测量,【知识点】系统误差、偶然误差及其特性、中误差、极限误差、相对误差、误差传播定律、算术平均值及其中误差、加权平均值。【重点】偶然误差的传播规律。 【难点】误差传播律的应用，加权平均值及其中误差。,5-1 测量误差概述5-2 评定精度的指标5-3 误差传播定律5-4 等精度直接观测值的最可靠值5-5 权与加权平均值,第5章 测量误差的基本知识,测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准测量 h0,5-1 测量误差概述,1、测
2、量误差：观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数值。真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值（1）误差真值与观测值之差（严格：真误差） = L观 L理 = LX（2）误差：一般把某一量的准确值与近似值之差也称为。,一、测量误差及其来源,2、观测条件产生误差原因,等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。,（1） 测量仪器,（2） 观测者,（3）外界条件的变化,观测条件,3、观测误差产生的原因,测量上真误差如何得到: = (D往- D返) 0,= L观 L理 = L-X, = (A + B + C) 180, = (A+B+C+D) 360, =
3、(hAB+hBA) 0,观测误差:,DAB,DBA,二、测量误差的分类,（1）系统误差的特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。,测量误差按其性质可分为系统误差、偶然误差和粗差。1、系统误差 ： 在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的符号和大小按照一定的规律变化，或保持不变，这种误差被称之为系统误差。,（2）系统误差的示例 ： 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角误差，其值大小与视线长度成正比，且符号保持不变； 经纬仪 c角、i角误差，其值大小随视线竖直角的大小而变化，且符号不变
4、； 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。,（3）系统误差的消除和削弱的方法: 1）校正仪器； 2）观测值加改正数； 3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。,在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，则称其为偶然误差。（1）特性： 就单个偶然误差来看，其符号和大小没有一定的规律，但对大量的偶然误差而言，它们遵循正态分布的统计规律。偶然误差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。 人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、仪器的极限精度和气象因素等。,2、偶然误差,（2）偶然误差的示例： 1) 距离测量,= L
5、观 L理 = L-X,1.7,1.6,1.5,1589中丝读数： 1590 1591,（2）偶然误差的示例： 1)读数误差(水准测量),总结: 偶然误差不能通过采用一定措施加以消除， 只能通过提高观测精度和合理地处理观测数据减少其对测量成果的影响。,3） 照准误差,4） 整平误差,（2）偶然误差的示例：,3、粗差（错误）,观测成果中存在的粗大误差称之为粗差（错误）。（1）产生的原因：较多 可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等； 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；（2）粗差对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有其存在。（3）发现粗差
6、的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。, 3. 1 观测误差的分类,总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。,三、偶然误差的特性,在测量的成果中： 系统误差的影响可以消除或减弱， 粗差可以发现并剔除， 偶然误差则无法消除，合理处理偶然误差需要研究它们的规律特性。,真误差,观测值与理论值之差,在相同的观测条件下, 观测了96个三角形的全部角 由于存在偶然误差，各三角形的内角之和L不一定等于真值 X（180），其差即为真误差：,1、表示偶然误差分布的统计表,将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区
7、间d（如表中的0.5）；统计出每一个小区间正负误差出现的误差个数k及频率， 频率 = 个数k/总数n（n=96），得出统计表5-1。,表5-1 三角形内角和真误差统计表,2、表示偶然误差分布的直方图,有斜线的矩形面积：为误差出现在+0.5 +1.0之间的频率.,横坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标以频率 d(频率/组距)为纵坐标，各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(k n ),图5-1 误差分布的频率直方图,3、偶然误差概率分布曲线-正态分布曲线,当直方图中： n ，d各区间的频率也就趋于一 个完全确定的数值概率. 若d 0时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。正态分布
8、曲线的方程式为：,式中：为偶然误差；（0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。,标准差定义为：,误差概率曲线叫作偶然误差的理论分布 在一定的观测条件下，测量误差对应着一定误差的分布, 当观测条件不同时，其误差分布曲线的形态将随之改变。在图5-3中，曲线I、II分别表示两组在不同观测条件下得到的两组误差分布曲线，均属于正态分布。曲线I 较陡峭，其拐点的横坐标值1小于曲线II拐点的横坐标值2，说明对应于曲线I的误差分布比较密集，或称离散度较小，观测值精度较高。曲线II较为平缓，误差分布离散度较大，观测值精度较低。,图5-3 不同精度的误差分布曲线,（1）有限性
9、：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；（4）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即,（5-4）,4、偶然误差的特性：,式中， 。 在数理统计中， 也称偶然误差的 数学期望为零，即E()=0。,误差处理的原则：,1、粗差：是进行必要的多余观测，通过精度检核并加以剔除。,2、系统误差：一是在观测方法或程序上采用一定措施来消除或减弱系统误差的影响，二是对测量结果加以改正。,3、偶然误差：通过提高观测精度和合理地处理观测数据减少其对测量成果的影
10、响。,目录,5.2 评定精度的指标,研究测量误差理论的主要任务之一是: 评定测量成果的精度。1、精度: 当消除了系统误差和剔除了粗差之后，精度就是指一组观测值误差分布的密集与离散程度。 误差分布密集，测量精度高；误差分布离散，测量精度低。2、评定测量成果精度的常用指标：方差和中误差极限误差相对误差。,一、方差和中误差,定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值为：L1、L2、Ln；其相应的真误差为1，2，n；则定义该组观测值的,式中：,1、方差:,2、标准差(中误差):,3、中误差的估值m ：(标准差的估值) 按有限次观测的偶然误差求得的标准差，即标准差的估值. 其计
11、算公式为：,由上述计算结果中可以看出，1组的中误差较小，所以观测精度高于2组。 在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。,【例题5-1】 1、2两组分别用相同的观测条件观测了某角度各六次，与真值比较得真误差分别为：1组：+2、+1、2、3、2、3；2组：+5、4、+1、4、3、+6。试分析两组观测值的精度。解：用中误差公式（5-7）计算得,中误差m的几何意义：为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标，其值小，则观测精度高，其值大，则观测精度较低。,注意：一组等精度观测值具有相同的中误差 在计算中误差 m 时应取23位有效数字，并在数值前冠以号，数值后写上“单位”。,1、定义： 由偶然误差的
12、特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。,二、极限误差,在大量同精度观测的一组误差中，差落在不同区间的概率分别为： P（- 的偶然误差，其出现的概率为31.7%； P（- 2 2 的偶然误差，其出现的概率为4.5%； P（- 3 3的偶然误差，出现的概率仅为3。,2、通常以三倍的中误差作为偶然误差的极限误差： （大于三倍中误差的偶然误差出现的机会只有3，是小概率事件，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现）,3、通常取2m作为偶然误差的容许值，称容许误差： (大于二倍中误差的偶然误差出现的机会只有4.5%),如果某观测值的偶然误差大于了规定的容许
13、误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。,1、定义：相对误差K等于绝对误差的绝对值与相应观测值D之比，它是一个无量纲的量，通常用分子为1的分数表示:,三、 相对误差,一般情况 : 角度、高差的误差用绝对误差(m)表示， 量距误差用相对误差K表示。,绝对误差:中误差、真误差和极限误差均是绝对误差，它们都有符号，并且单位与观测值相同。,当DAB=100.000.02m, DCD=200.000.02m , 两边长的测量精度相同的吗？此时用中误差衡量两者的精度很不适合。,2、相对中误差,与绝对误差一样，相对误差对应地分为相对真误差、相对中误差和相对极限误差。当上式中绝对误差为中误差m时，K称为
14、相对中误差，即,例 已知：D1=100m, m1=0.02m，D2=200m，m2=0.02m，求： K1, K2解：,当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取相对极限误差为相对中误差的两倍，即,3、相对极限误差,目录,4、相对较差,在距离测量中往返测量的相对较差要小于相对容许误差，相对较差是往、返测差值与均值之比，相对较差=相对误差,用来反映距离测量精度的相对误差，其值越小，观测结果越可靠。若相对误差大于相对极限误差，则距离必须重测。,目录,概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与其函数中误差之间传播规律的定律。,5.3 误差传播定律,观测值的函数-又称为间接观测量,一、误差传
15、播定律,设Z是独立变量x1，x2，xn的函数，即,其中：x1，x2，xn为直接观测量的真值，其相应的观测值为Li（i=1，2，n），它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，mn，则,式中 为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，将观测值（xi=Li）代入偏导数后得到的偏导数值，故均为常数。,详细推倒见教材,1、观测值函数Z的中误差,误差传播定律的一般形式,1) 列出函数式： 2) 对函数式进行全微分得到真误差关系式：,2、由直接观测值的中误差求函数中误差的步骤：,3)运用误差传播律，求函数的中误差：,式中： 是为各独立变量xi分别对函数Z的偏导数。它们均为常数，因此上式是线性函数.,【例题5
16、-2】,假设测得一圆形的半径为2.0m ，其测量中误差m=0.002m,求其面积及其中误差。【解】 S=2R2=25.133m2对其全微分有 dS=4RdR=25.133dR运用误差传播律，圆形面积的中误差mS=0.050m最后得 S=25.133m0.050m,二、误差传播律的应用,【例题5-3】用光电测距仪测得斜距为L=300.485 m，其中误差mL=0.003 m，并测得竖直角 =83436，测角中误差m=3，求水平距离D、中误差mD和相对中误差。【解】1、列出函数式 水平距离 2、对函数式进行全微分得真误差关系式,二、误差传播律的应用,对函数式进行全微分得真误差关系式 函数对L和的偏
17、导数分别为,【例题5-3】 二、误差传播律的应用,由于是以秒为单位，要化为弧度，除以 则真误差关系式为,运用误差传播律，得函数的中误差,【解】,二、误差传播律的应用,故水平距离为: D=297.125 m0.003 m ；相对中误差:,函数的中误差:,水平距离,【例题5-3】,【例题5-4】,在水准测量中，若已知水准尺读数的中误差为，假定视距平均长度为50 m，若以3倍或2倍中误差作为容许误差，试求水准路线长度为L km的往返测高差较差的容许值。,【解】 每测站的观测高差为,则每测站观测高差的中误差为,当视距平均长度为50 m时，每公里需要观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里往测高
18、差为,L公里往测高差或返测高差的中误差均为,二、误差传播律的应用,往返测高差的较差为高差较差的中误差为若以3倍中误差作为高差较差的容许误差，则往返测高差较差的容许值为,若以2倍中误差作为高差较差的容许误差，则往返测高差较差的容许值为,再考虑其它误差因素的影响,作为往返测较差的容许值；,二、误差传播律的应用,【例题5-5】,对某段距离等精度地测量了n次，观测值分别为:，每次观测值的中误差均为m，试求算术平均值x的中误差。,【解】 算术平均值为,对函数式进行全微分,根据误差传播律有,n次等精度直接观测值的算术平均值的中误差为观测值中误差的1/n.,。,二、误差传播律的应用,【例题5-6】,用DJ2
19、经纬仪测水平角，假设其一测回角度测量中误差=2.83，当测角中误差要求=1.8时，至少应测多少测回才能满足精度要求？,【解】根据题意，可知,考虑【例题5-5】结论，则有,解得测回数 n=3，即至少应测3测回才能满足测角的精度要求。,二、误差传播律的应用,例 已知测量斜边D=50.000.05m，测得倾角：求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差,=1530,误差传播定率的几个主要公式：,目录,基于像提取,基于对象提取,关于误差传播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函数中误差计算式”，因为它是“通式”。需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应注意量纲的统一。例如函数h=Ssi
20、n，h与的量纲不同，按误差传播定律求h的中误差时，需进行单位换算：关键是角度中误差平方这一项须除以2。206265（一弧度=206265秒）,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为：L1、L2Ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）为：,一、等精度直接观测值的最可靠值,5.4 等精度直接观测值的最可靠值,为了提高精度和发现错误，测量中往往对某一未知量等精度观测n次，将其算术平均值作为最接近真值的最可靠值，有时又称其为最或然（是）值。,设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为 （i=1，2，n）将上式相加得 或故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当
21、观测次数无限增多时， 即 （算术平均值=真值）,结论：1、当观测次数 n 趋近于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。 2、当n为有限值时，算术平均值是最接近真值的值，称其为最可靠值或最或然值，作为观测的最后结果。,二、用观测值的改正数求观测值的中误差和算术平均值的中误差,1、用观测值的改正数求观测值的中误差,用改正数计算等精度观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。,公式推导见教材,结论：算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。,2、用改正数计算算术平均中误差的公式为,公式推导见教材,【例题5-7】对某角等精度地观测6次,其观测值见表5-2.试求观测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差.,【解】等精度直接观测值的算术平均值、改正数及其平方项见表5-2。,【例题5-7】对某角等精度地观测6次,其观测值见表5-2.试求观测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差.,算术平均值L中误差是：,【解】由表5-2计算得:,观测值的中误差,最后结果为观测值的最可靠值算术平均值： x = 652831.00.6,目录,
