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1、第一章：绪论,定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,一、常微分方程与偏微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,二、微分方程的阶,定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,n阶微分方程的一般形式为,三 线性和非线性,1.如果方程,不是线性方程的方程称为非线性方程,2.n阶线性微分方程的一般形式,四 微分方程的解,定义3,1 显式解与隐式解,相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与
2、隐式解统称为微分方程的解.,2 特解与通解,定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,n阶微分方程通解的一般形式为,定义4：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.,注1:,3 定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.,求满足定解条件的求解问题称为定解问题.,常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.,五 积分曲线和方向场,1 积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程
3、的积分曲线.,2 方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场.,第二章 一阶微分方程的初等解法,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,2.1 变量分离方程与变量变换,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程
4、类型.,此外,诸如,2.2 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(1)得,积分得,注 求(1)的通解可直接用公式(3),形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,2.3 恰当方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,1 恰当方程的定义,需考虑的问题,(1) 方程(1)是否为恰当方程?,(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?,2 方程为恰当方程的充要条件,定理1,为恰当方程的充要条件是,二
5、、恰当方程的求解,1 不定积分法,2 分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,三、积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,1 定义,2 积分因子的确定,变成,即,此时求得积分因子,3 定理,微分方程,2.4 一阶隐方程与参数表示,一阶隐式方程,求解,采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.,主要研究以下四种类型,1 形如,方程的解法,(I) 若求得(
6、4)的通解形式为,将它代入(3),即得原方程(2)的通解,(II) 若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,(III) 若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,2 形如,方程的解法,若求得(10)的通解形式为,则得(9)的参数形式的通解为,1 形如,方程的解法,即满足:,两边积分得,于是得到原方程参数形式的通解为,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,2 形如,方程的解法,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,第三章 一阶微分方程的解的存在定理,3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,命题1 初值问题(3.1)等
7、价于积分方程,命题2,命题3,命题4,命题5,二 近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,解,由于,由(3.19),3.2 解的延拓,1 饱和解及饱和区间,定义1,2 局部李普希茨(Lipschitz)条件,定义2,3 解的延拓定理,定理:,3.3 解对初值的连续性和可微性定理,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理 如果函数 于某域D内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不等式 .其中 为所考虑区间内的某一值。,2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部利普希茨条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有定义,且,方程,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,3 定理2 (解对初值的连续性定理),条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,二 解对初值的可微性,1 解对初值和参数的连续依赖定理,2 解对初值和参数的连续性定理,3 解对初值可微性定理,
