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1、9,回归分析与协方差分析,内容,9.1 一元线性回归,学习目标,散点图, 回归系数, 正规方程, 经验回归方程；回归平方和,剩余平方和,相关系数, 显著性检验.,不确定关系,人的身高,体重,农作物的单位面积产量,施肥量,9.1 一元线性回归,1. 一元线性回归的基本概念,线性模型,例 为了研究弹簧悬挂不同重量(单位：克力)x时长度(单位：厘米)y的关系。通过试验得到一组数据。,重量xi 5 10 15 20 25 30 长度yj 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80,把这些数据点(xi, yj )画在xoy坐标系中，图形称为散点图。,*,*,*,*,*,*,L,散点图
2、,记L为,进行n次独立试验，测得数据如下：,我们的问题是，如何根据这些观测值用“最佳的”形式来表达变量Y与X之间的相关关系？,一般而言，在变量x取值以后，若Y所取的值服从N (+x,2)分布，当、及2未知时，根据样本(x1,Y1),(x2,Y2),(xn,Yn)的观测值(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn) 对未知参数、及2所作的估计与检验称为一元线性回归分析，而称为截距，称为回归系数， E(Y)+x 称为回归方程。,由回归方程可以推出,根据样本及其观测值可以得到、及2的估计量及估计值,得到回归方程的估计式或经验回归方程,最常用的是最小二乘法，即求出,的值最小，所求出的a称为经验截距，
3、简称为截距，b称为经验回归系数，简称为回归系数，而,2. 总体中未知参数的估计,根据最小二乘法的要求由,得到一元线性回归的正规方程组,并求出,建立一元线性回归方程的具体步骤：,(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。,与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE，称为剩余平方和。,将a、b和SSE以及 和 看作是统计量，它们的表达式分别为,这些统计量之间以及它们与总体参数之间有以下的内在联系：,为提高a的估计精度，最理想的选择是使 0，其绝对值越小越好；,为提高b的估计精度，应该使lxx 取较大的数值，x1、x2、xn越分散越好； 观测值的个数n不能太小。,3. 线性回归方程的显著性检验,因此，必
4、须对回归方程的拟合情况或效果作显著性检验。,其理论基础就是总平方和的分解，即,表示n个y1、y2、yn与之间的差异，当各个yi已知时，它是一个定值，称为总平方和，记作SST。,通过回归已经达到了最小值，称为剩余平方和，记作SSE。,称为回归平方和，记作SSR。,因此，SSTSSE+SSR。,如果SSR的数值较大，SSE的数值便比较小，说明回归的效果好；如果SSR的数值较小，SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。,如果|r|较大，SSE的数值便比较小，说明回归的效果好或者说x与Y的线性关系密切；如果|r|较小，SSE的数值便比较大，说明回归的效果差或者说x与Y的线性关系不密切；因此称r为x与Y
5、的观测值的相关系数。 又由r及回归系数的计算公式,可以推出：r0时b0，x增加时Y的观测值呈增加的趋势；r0时称x与Y正相关，r0时称x与Y负相关。,综上所述，如果设H0为0，也就是假设x与Y不是线性关系，则可以用以下三种实质相同的方法检验线性回归方程的显著性，且当检验的结果显著时x与Y的线性关系显著，回归方程可供应用；当检验的结果不显著时x与Y的线性关系不显著，回归方程不可应用。, F检验法：,当H0为真时，,且SSR与SSE相互独立；因此，当H0为真时，,当FF1-(1,n-2)时应该放弃原假设H0。,(2)t检验法：,当H0为真时，,当|t|t1-0.5(n-2)时应该放弃原假设H0。,
6、(3)r检验法：,根据x与Y的观测值的相关系数,可以推出,当H0为真时，,当FF1-(1,n-2)或|r|r(n-2)时应该放弃原假设H0，式中的,可由r检验用表中查出。,因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x与Y的观测值的决定系数。,4. 利用回归方程进行点预测和区间预测,若线性回归作显著性检验的结果是放弃H0，也就是放弃回归系数0的假设，便可以利用回归方程进行点预测和区间预测，这是人们关注线性回归的主要原因之一。, 当xx0时，,Y0的观测值y0的点预测是无偏的。, 当xx0时，用适合不等式PY0(G,H)1-的统计量G和H所确定的随机区间(G,H)
7、预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称为Y0的1-预测区间。,若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据ZY0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)0，,Z与SSE相互独立，,可以导出,因此，Y0的1-预测区间为 a+bx0(x0)，,例1.1吸附方程某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果温度x(单位：)与吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：,温度x1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0,重量y4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3,试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若x02，求Y0的0.95预
8、测区间。,解：根据上述观测值得到n9，,所求的线性回归方程为,显著性检验方法 F检验法：SSTlyy114.516， SSRblxy112.485，SSESST-blxy2.031，n-27，F0.99(1,7)12.2，,所以回归方程极显著；, t检验法：,所以回归方程极显著；,(3) r检验法：,所以回归方程极显著.,Y0的0.95预测区间为(4.09,8.15)。 这说明当温度为2时，应该预测吸附另一种物质的重量在4.09至8.15之间，并且预测100次将有95次是正确的。,例1.2植物保护一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关，现有1956-1964年间3月下旬至4月中旬旬平均温度的累计数
9、x和一代三化螟蛾盛发期Y(以5月10日为0)的观测值如下：,温度x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2,盛发期y 12 16 9 2 7 3 13 9 -1,试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若x040，求Y0的0.95预测区间。,解：根据上述观测值得到n9，,所求的线性回归方程为,显著性检验方法 F检验法：SSTlyy249.5556，SSRblxy174.8886，SSESST-blxy74.6670，n-27，F0.99(1,7)12.2，,所以回归方程极显著；, t检验法：,所以回归方程极显著；,(3) r检验法：,所以回归方程极显著.,Y0的0.95预测区间为(-3.80,12.92)。,这说明当3月下旬至4月中旬旬平均温度的累计数为40时，应该预测一代三化螟蛾盛发期为5月6日至5月23日之间，并且预测100次将有95次是正确的。,
