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1、回归分析方法 讲义,主要内容,回归分析方法概述一元线性回归分析多元线性回归分析一元非线性回归分析多重线性回归,回归分析方法一种建立统计观测值之间的数学关系的方法通过自变量的变化来解释因变量的变化，从而由自变量的取值预测因变量的可能值,第一节 回归分析方法概述,自变量与因变量的相关关系,一元线性回归的拟合线方程,确定拟合方程系数值的最小二乘法 原理：因变量估计值与观测值之间均方误差极小,在实际操作上，可运用Excel回归分析工具计算系数a和b,回归模型的检验判定系数 R2 用来判断回归方程的拟合优度。 通常可以认为当R2大于0.9时，所得到的回归直线拟合得较好，而当R2小于0.5时，所得到的回归
2、直线很难说明变量之间的依赖关系。 t 统计量 如果对于某个自变量，其t统计量的P值小于显著水平（或称置信度、置信水平），则可认为该自变量与因变量是相关的。 F 统计 如果F统计量的P值小于显著水平（或称置信度、置信水平），则可认为方程的回归效果显著。,回归预测的步骤第一步，获取自变量和因变量的观测值。第二步，绘制XY散点图。 第三步，写出带未知参数的回归方程。 第四步，确定回归方程中参数值第五步，判断回归方程的拟合优度。第六步，进行预测,第二节 一元线性回归分析,【例5-1】 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生。为了研究各店铺销售额与店铺附近地区大学
3、生人数之间的关系，随机抽取了十个分店的样本，得到的数据如下： 试根据这些数据建立回归模型。然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生人数为1.6万的店铺的季度销售额。,XY散点图,求回归系数a和b的方法规划求解INTERCEPT()和SLOPE()函数LINEST()函数回归分析报告散点图添加趋势线求判定系数R2的方法RSQ()函数回归分析报告趋势线,练习题：试根据罗斯文公司在1996年7月4日至1998年5月8日期间各种商品的销售额数据建立线性回归模型，然后再进一步根据回归方程预测该公司1998年5月和6月的月销售额。,第三节 多元线性回归分析,多元线性回归模型的一般形式多元线性回归预测步骤
4、第一步，获得候选自变量和因变量的观测值。第二步，从候选自变量中选择合适的自变量。有几种常用的方法：最优子集法向前增选法等第三步，确定回归系数，判断回归方程的拟合优度。第四步，根据回归方程进行预测。,【例5-2】一家皮鞋零售店将其连续18个月的库存占用资金情况、广告投入的费用、员工薪酬以及销售额等方面的数据作了一个汇总，这些数据显示在工作表单元格A1:E20（图5-17）。 该皮鞋店的管理人员试图根据这些数据找到销售额与其它三个变量之间的关系，以便进行销售额预测并为未来的预算工作提供参考。试根据这些数据建立回归模型。如果未来某月库存资金额为150万元，广告投入预算为45万元，员工薪酬总额为27万
5、元，试根据建立的回归模型预测该月的销售额。,利用多元回归模型和excel分析工具可得,解决方案：,用最优子集法作自变量筛选比较结果表明，以库存资金和广告费用为自变量效果最好。,以库存资金和广告为自变量的回归分析报告,第四节 一元非线性回归分析,用一条曲线来拟合因变量对于自变量的依赖关系通过变量替换把问题转化为一元或多元线性回归问题后，用线性回归分析的方法建立回归模型，并进行预测(即化非线性回归为线性回归),1. 用幂函数曲线拟合 设则,及,化非线性回归为线性回归的常用方法,2.指数函数曲线拟合设则,3.对数函数曲线拟合 设则,4.双曲线函数拟合 设 则,5.二次多项式及三次多项式,6、S型（L
6、ogistic）曲线拟合,变形,设,【例5-3】某企业想了解公司某种产品的产量与收益之间有何关系，为此收集整理了历年的产量收益数据资料。试根据这些资料建立适当模型说明产量与收益之间的关系。,作线性回归拟合,直线拟合残差图,回归分析步骤观察XY散点图，确定拟合曲线类型（对数曲线），写出带未知参数的回归方程确定参数值，方法有：规划求解变量替换添加趋势线用回归方程进行预测（注：在拟合曲线类型不能确定时，可选不同类型进行尝试，比较结果）,对数回归拟合结果,对数拟合残差图,【例5-4】 就例5-2罗斯文公司的销售额数据，进行非线性回归分析，并预测98年5月和6月的销售额。,【例5-4】测定某肉鸡的生长过
7、程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表,由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量为k=2.827，试求y对x的回归曲线方程。,解 :由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为,令,则有,列表计算,所以,所以所求曲线方程为,上机操作,输入原始数据,上机操作,计算,上机操作,上机操作,上机操作,是y*，而不是y,自变量,上机操作,回归方程，还要回代系数,第五节 多重回归分析,在实际问题中，自变量的个数可能多于一个，随机变量 y与多个可控变量x1,x2,x3,xk之间是否存在相关关系，则属于多重（元）回归问题。 本节讨论多重线性回归。,多重线性回归模型,随机变量 与 之间的线性关系,(1
8、),其中,未知,则（1）式称为多重线性回归模型。,多重线性回归模型,若对变量 与 分别作n次观测，则可得一个容量为n的子样,(2),其中,为待定参数，称为回归系数。,（2）式含有k+1个参数，故观测次数应满足nk+1。,则有,多重线性回归模型的矩阵形式,记,则（2）有矩阵形式,其中,其中,确定 的最小二乘法,考虑多元函数,目标：确定 使 最小,方法：,解得,多重线性回归方程,线性回归方程的有效性检验方差分析法,线性回归方程是否有统计意义，可检验假设,是否成立,方法：方差分析法，将总离差平方和分解,线性回归方程的有效性检验方差分析法,回归平方和，反映线性关系对观测结果产生的数据波动，SSR越大，
9、线性相关关系越强。,剩余平方和（或残差平方和），反映除线性因素之外的其它因素对观测结果产生的数据波动，SSE越大，则其它因素对Y的影响越大。,线性回归方程的有效性检验方差分析法,在H0成立的条件下，可以证明：,（n为观测次数，k为自变量个数）,构造F统计量,当 时，拒绝H0。,当 时，拒绝H0。,回归系数的统计检验,回归方程的有效性检验，只是解决了 与之间是否有线性相关关系，至于变量 对 的影响是否有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数 是否为0作统计检验。,提出假设,如果H0成立，可以证明统计量,当 时，拒绝H0。,利用回归方程作预测及控制,对于给定的,点估计值,置信水平为 的预测区间为,【例5-5】某种水泥在凝固时放出的热量Y（cal/g）与水泥中下列4种化学成分有关：,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,现记录了13组观测数据，列在下表中，试求 对 的线性回归方程。,上机操作,因变量,自变量,线性方程是有效的,线性回归方程,小结,求回归系数、判定系数规划求解内建函数回归分析报告添加趋势线Excel内建函数INTERCEPT()，SLOPE()LINEST()RSQ()SUMXMY2(),
