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1、3 一般项级数,三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,返回,由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.,一、交错级数,二、绝对收敛级数及其性质,一、交错级数,若级数的各项符号正负相间, 即,则称为交错级数.,定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:,则级数(1)收敛.,证 考察交错级数(1)的部分和数列Sn,它的奇数项,和偶数项分别为,由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而 S2m, S2m-1 是一个区间套.由区间套定理,存,推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛,级数(1)
2、的余项估计式为,对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验,它们都是收敛的:,在惟一的实数 S, 使得,收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.,各项绝对值组成的级数,定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的.,证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对,二、绝对收敛级数及其性质,若级数,由于,因此由柯西准则知级数(5)也收敛.,对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种,判别法对级数(6)进行考察.,整数 r, 有,的各项绝对值所组成的级数是,例1 级数,例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收,敛.,全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级,数两大类
3、.,下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.,1.级数的重排,我们把正整数列1,2,n, 到它自身的一一映射,若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条,件收敛.,作,定理12.13 设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任,意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.,称为正整数列的重排, 相应地对于数列,第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个,部分和. 用,表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5),*证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收,敛级数就容易证明定理是成立的.,即级数(7)收敛, 且其和,由于级数(5)也可看作级数(7
4、)的重排, 所以也有,理成立.,第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数,且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得,收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.,则对于任何,要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令,第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第,一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先,对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差,其和不变, 从而有,敛的正项级数. 因此,注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 条件收敛级,数重排后得到的新级数,不一定收敛, 即使收敛,也,不一定收敛
5、于原来的和. 更进一步, 条件收敛级数,适当重排后, 既可以得到发散级数, 也可以收敛于,任何事先指定的数. 例如级数(2)是条件收敛的, 设,其和为A, 即,将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:,我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习,指导书下册39页).,2. 级数的乘积,积,即,那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?,将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下,设有收敛级数,表:,可以按各种方法排成不同的级数, 常,用的有按正方形顺序或按对角线顺序.,定理12.14 (柯西定理) 若级数(11)、(12)都绝对收敛,依次相加,于是分别有,和,也绝对收敛, 且
6、其和等于AB.,*证,则必有,由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛, 因而,由于绝对收敛级数具有可重排的性质, 即级数的和,与采用哪一种排列的次序无关, 为此, 采用正方形,顺序并对各被加项取括号, 即,将每一括号作为一项, 得到新级数,从而,例2 等比级数,到,注 级数乘积在幂级数(第十四章)中有重要应用.,三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.,引理 (分部求和公式, 也称阿贝尔变换),则有如下分部求和公式成立:,整理后就得到所要证的公式(18).,推论 (阿贝尔引理) 若,证 由(i)知,都是同号的. 于是由分部求和公式及条件(ii)推得,现在讨论形如,级数的收敛性的判别法.,任一正整数 p, 都有,(阿贝尔引理条件(ii). 应用(19)式得到,这就说明级数(20)收敛.,定理12.16 (狄利克雷判别法) 若数列an单调递减,数(20)收敛.,例3 若数列an具有性质:,都收敛.,解 因为,作为例3 的特殊情形, 得到级数,所以级数,为条件收敛.,复习思考题,3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步,骤.,
