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1、数学归纳法,课题引入,不完全归纳法,回想等差数列通项公式的推导过程：,像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。,举例说明：一个数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜测an?,由于a525 1，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动
2、。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。,多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据）,条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。,（1）第一块骨牌倒下；（基础）,数学归纳法,对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2. 当n=k(kN*，kn0)时命题成立， 当n=k+1时命题也
3、成立。这种证明方法就叫做。,数学归纳法,正整数n,假设,证明,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,证明：（1）当n=1时，,等式是成立的,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何 都成立,例1 如果 是等差数列，已知首项为 公差为 ，那么,对一切 都成立,试用数学归纳法证明,上述证明对吗？为什么？,证明：当n=1时，左边,设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。,例2 用数学归纳法证明:当,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,则
4、，当n=k+1时,135（2n1）,正确解法：用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,（凑结论）,例3：用数学归纳法证明：122334n(n1) ,从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1),=, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，
5、命题正确。,1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立,练习 用数学归纳法证明,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：, 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。,思考1：试问等
6、式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早,证明：当n=1时，左边,右边,假设n=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），
7、可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,答：不一定,举例说明：用数学归纳法证明 n边形 的对角线的条数是,此时n取的第一值,课堂练习,2、求证：1+2+3+n=,n(n+1 ),作业：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时命题成立,递推基础,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立,1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题,3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。,课堂小结,
