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1、2.3 数学归纳法,2.3 数学归纳法,课题引入,不完全归纳法,费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN时， 一定都是质数，这是他观察当n0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现 4 294 967 2976700417641，从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立,举例说明：一个数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜测an?,由于a525 1，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,在使用归纳法探
2、究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。,思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？,思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力
3、、想象力和创造力。,多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据）,条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。,思考：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,（1）第一块骨牌倒下；（基础）,（1）第一张骨牌必须能倒下,（2）假若第k（k1）张能倒下 时，一定能压倒紧挨着它的 第k+1张骨牌,（游戏开始的基础）,（游戏继续的条件）,分析： 能够使游戏一直连续运行的条件：,类似地
4、，把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：,（递推基础）,（递推依据）,由（1）（2）知，游戏可以一直连续运行。,由（1）（2）知，命题对于一切nn。的自然数n都正确。,我们把以上证明关于自然数n的命题的方法，叫做数学归纳法。,2、根据相似性，规范两步骤,证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：,这种证明方法叫做数学归纳法,(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立,完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立,(2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立,（基础）,（依据）,例题1,例题1：已知数列an中，a1=1,an+1=an/
5、(an+1), 用数学归纳法证明：对所有的 正整数n,有an=1/n,a1=1成立,假设ak=1/k成立,若证出ak+1=1/(k+1)成立,命题an=1/n成立,命题成立,类比,例2、用数学归纳法证明： 1+3+5+(2n-1)n2,(2)假设nk时，等式成立，即,(1) n1时，左边=1，右边=1，等式成立；,1+3+5+(2k-1)k2,那么当nk+1时，,由、 可知对任何nN*时，等式都成立,需要证明的式子是?,1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（k+1）2,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。,例题3：用数学归
6、纳法证明,（2）假设当n=k时，等式成立，即,那么： 左边=12+22+k2+(k+1)2,右边,即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题 对任何nN都成立。,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k (kN ， 且k n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。,找准起点奠基要稳,用上假设递推才真,写明结论才算完整,数学归纳法的概念,四、案例分析：,(缺少初始步),设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n+1,
7、证明：假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k=k2+k+1,2+4+6+2k+2(k+1),=k2+k+1+2(k+1),=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,案例一：,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,案例二：,设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n,证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立.,(2) 假设当n=k时等式成立，即,2+4+6+2k=k2+k,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k+2(k+1),=(k+1)2
8、+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则递推关系不能成立.,(未证递推步),没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明：当n=1时，左边,右边,假设n=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据
9、，因此无法递推下去。,练习1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1B13C123 D1234答案C解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,答案D,六、课后作业：,1、用数学归纳法证明：,在验证,时，等式左边的项是（ ）,A、,B、,C、,D、,C,2、用数学归纳法证明：1+,时，由,递推到,时左边需添的项是（ ）,D、,B、,C、,A、,D,3、用数学归纳法证明不等式,时的过程中，由,到,时，不等式的左边（ ）,A、增加了一项,B、增加了一项,，又减少了一项,C、增加了两项,D、增加两项,，又减少了一项,D,2. 数
10、学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时命题成立,递推基础,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立,1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题,3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。,课堂小结,再见！,http:/www.99dyw.co/ 九九电影网 http:/www.99dyw.tv/ 九九电影网 天堂网2014 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网2014www.avttt2015.info 天堂网2014www.avttv2017.info 天堂网2014www.avttv2017.org 天堂网 天堂网 天堂网2014www.avttv2018.org 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网2014,
