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1、北师大版高中数学必修5课件,1.2 等差数列,请看下面一些数列:,鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22，22.5，23，23.5，24，24.5，,某月星期日的日期为 2，9，16，23，30；,一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为： 89，83，77，71，65，59，53，47(cm),一、课题引入,思考：它们有何共同特征？,从第2项起，每一项与前一项的差都等于一个常数.,二、等差数列的定义,如果一个数列an，从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。,等差数列定义的公式表示：an-an-1=d,例1已知数
2、列an的通项公式为an=3n5，这个数列是等差数列吗？,解：因为当n2时， anan1=3n53(n1)5=3， 所以数列an是等差数列，且公差为3.,（1）判断一个数列是否等差数列，应严格按照等差数列的定义来进行。 等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差, 不能颠倒。,跟踪练习：判断下列数列是否等差数列？,评注：,（2）作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是和负数。,如果等差数列an的首项为a1，公差为d,求它的通项公式an,a 2a1d,a 3a2da12d,a 4a3da13d,a 5a4da14d ,由此得: ana1(n1)d （ nN+),解：由等差数列得定义得：
3、 an1and,三、等差数列的通项公式,思考: 还可以有别的方式得到这个公式吗？,叠加得,等差数列的通项公式推导2（叠加）,例2已知等差数列10，7，4，； （1）试求此数列的第10项； （2）40是不是这个数列的项？56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？,解：（1）设此数列为an， 由a1=10，a2=7，得d=710=3， 得到这个数列的通项公式为 an=103(n1)，即an=3n+13， 当n=10时，a10=17.,（2）如果40是这个数列的项， 则方程40=3n+13应有正整数解，,解这个方程得 ，,所以40不是这个数列的项；,如果56是这个数列的项，则方程56=3n+13有正
4、整数解，解这个方程得n=23，所以56是这个数列的第23项；,（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它的通项公式。（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20项。（3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？,跟踪练习：,例3： 在等差数列an中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。,分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。,解： 由题
5、意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2), d = 2 a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,（1） 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。,*,评注：,（2）等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。,跟踪练习,在等差数列an中，已知 （1）a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）a3=9 , a9=3 ，求 a12 。,1.在等差数列an中， ana1(n1)d=
6、nd+(a1d),可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.,当公差d0时， an是关于n的一次式.,四：性质一：公差的几何意义,思考：若设数列an的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，这个数列是等差数列吗？,因为anan1=(an+b) a(n1)+b=a.(n2),所以an是等差数列，其中a是公差.,结论：,如果an是等差数列，则an=an+b，(a，b是常数)； 反之，若an的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，则数列an是等差数列，,2.由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b， 因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直
7、线上。,当a0时，各点均在一次函数y=ax+b的图象上；当a=0时，各点均在函数y=b的图象上。,思考：在哪条直线上？,讨论：这个数列的公差与这条直线有什么关系？有什么意义？,这个数列的公差等于这条直线的斜率，这就是公差的几何意义。,例1已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.,解：由等差数列的通项公式可知 an=a1+(n1)d，am=a1+(m1)d， 两式相减得， an=am+(nm)d.,思考：还可以如何推导？,解：由几何意义可知 点（n,an）， （m,am）在直线y=dx+b上， 所以d= (an-am)/(n-m)，整理得an=am+(nm)d.,.等差中项的定义
8、,如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项。,如果A是x和y的等差中项，则,注： （）在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。（）若m+n=2p,则am+an=2ap,性质 二,例2梯子共有5级，从上往下数第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列an，求第2，3，4级的宽度。,解法1：由题意，a1=35，a5=43，由等差数列通项公式，,因此得a2=37，a3=39，a4=41.,得公差,解法2：此数列共5项，a3是a1与a5的等差中项，,因此,又因为a2是a1与a3的等差中项，a4是a3与a5的等差中
9、项，所以,答：梯子的第2，3，4级的宽度分别是37cm，39cm，41cm.,例3.（1）在等差数列an中，若mnpq， 求证：amanapaq.,（2）在等差数列an中，若a3a4a5a6a7=450，求a2a8.,解：（2） a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5， 5a5=450， a5=90, a2+a8= 290=180.,性质 三,跟踪练习,在等差数列an中已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20；(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8.,注：等差数列还有许多重要性质，在学习中需要我们慢慢去挖掘。,1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并
10、且差是 同 一常数。 象例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列，而它们本身不是。,2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。,四、小结,本节课主要学习了以下知识：,在学习中还要注意提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力。,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】 3.更一般的情形，an= ，d=,小结（知识巩固）,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,谢谢,
