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1、1,第三章 谐振腔和高斯光束,3.1 谐振腔的结构和稳定条件 谐振腔的结构 通常用结构参数来描述谐振腔。设谐振腔两个反射镜的曲率半径分别为R1和R2，镜面间隔为d，则结构参数定义为,2,腔的稳定性、振荡模式、模体积、发散角、调整精度和损耗大小等都是衡量谐振腔质量的指标，它们又是互相制约的，实际应用中需根据具体要求选取不同的腔体结构。,3,4,不同的腔有不同的结构参数,5,6,7,谐振腔的稳定条件,谐振腔的稳定性是衡量谐振腔的特性的首要因素。特别是对于增益系数较小的介质，总希望光束能在腔内更多来回传播，以便获得足够大的增益。光束在腔内往返次数的多少又是由腔体结构决定的，对于图3.1-2中由两面凸
2、面镜构成的腔体而言，光束在腔内很可能只经一次反射就逸出腔外了。,8,研究方法,周期性透镜序列 一个曲率半径为R 的球面镜反射，光束偏离轴线的情况等同于光束经焦距f=R/2 薄透镜的折射。因此，光束在谐振腔内的往返传播可以等效为经过一透镜序列的传播，如图3.1-3所示。如果激光腔是稳定的，则光线经过相应的透镜序列后不会偏离透镜的孔径，亦即具有会聚性质；反之，如果光线经过相应的透镜序列具有发散性质，则光线终究会在某处逸出腔外，对应的激光腔就是不稳定的。,9,10,传递矩阵,11,ABCD矩阵的定义,12, 的符号规则,13,矩阵的性质,ADBC1 入射处与出射处折射率相同ADBCn1/n2 ， 其
3、中入射处折射率为n1，出射处折射率为n2。,14,求矩阵元,一般说来光线穿过任意光学元件后，其位移x和斜率 的变换关系，可以由矩阵表示，那么相应的矩阵元为,15,光线在自由空间直线传播的光线矩阵（傍轴近似）,16,光线通过均匀介质,17,18,（球面反射镜）,19,Reversed Transmission 反向传输矩阵,20,ABCD matrix of an optical system,21,在光学谐振腔内的一次往返矩阵,平行平面腔,22,n次往返的矩阵,23,一般双凹球面腔,一次往返矩阵,24,由此可得,25,对称球面腔（R1R2R）的往返矩阵共焦腔（R1R2=d )的往返矩阵,26,
4、n 次往返的矩阵,27,矩阵乘n次的Sylveester 公式 其中 满足 cos =1/2(A+D) 腔的稳定条件要求Mn的各矩阵元不全等于零的实数，因此cos在-1,1才有意义，即须满足 11/2(A+D)1 时，腔才是稳定的。,28,将一般双凹球面腔中的矩阵元代入A和D代入上式，整理可得 亦有0g1g21。这是腔的稳定性条件。 稳定腔0g1g21。 非稳腔 g1g20 或 g1g21。 临界腔g1g20，或 g1g21。,29,多元件腔的稳定性,表示不包括腔 镜在内的单程传输矩阵。 多元件腔的结构参数为,30,稳定图,由稳定图得知，（1，1）、（-1，-1）、（0，0）是稳定图上的三个特
5、殊点，分别对应于平行平面腔、对称共心腔和共焦腔。,31,等价共焦腔及其作图求法,图3.3-8说明腔长为d、镜面分别用M1、M2表示的共振腔有唯一确定的高斯光束。在镜面上波阵面曲率半径最小，z=0的腰部位置离M1、M2的距离分别为d/2，在腔内外由a1、 a2、 a1、 a2等许多波阵面，它们的曲率半径都比M1、M2要大。,32,作图法求出任一腔体的等价共焦腔,33,Spherical wave 球面波,34,近轴波动方程 Paraxial wave equation,35,Gaussian beam 高斯光束,36,高斯光束的参数,37,38,39,高斯光束的传播,40,The ABCD la
6、w of Gaussian beam,41,Focusing of Gaussian beam,42,共焦腔的衍射理论 横模,一、 谐振腔内的衍射现象 衍射理论认为腔内模式是与腔内光束经过多次衍射后达到相对稳定的分布相对应的，即按照不同强度分布和频率特性来具体区分不同的模式，这是建立在惠更斯-菲涅耳原理基础上的理论，数学上主要归结为对腔内衍射场自洽积分方程的求解。,43,衍射损耗,44,共焦腔,45,自再现积分方程,由于共焦腔是对称腔体，根据自再生场分布的概念，Es(x,y)和Es(x,y)具有相同的函数形式，满足根据惠更斯原理，S面上某一点P(x,y)的场强E(x,y)可看成是以S面上各点P
7、(x,y)为子波源所发出的球面波的叠加，如图3.2-3。数学上由菲涅耳-克希霍夫（Fresnel-Kirchoff）方程来表示：这里，dS=dxdy为P(x,y)处的面积元；Es(x,y)为S面上P(x,y)处的场强；为P(x,y)点到P(x,y)点的距离;为P(x,y)处各波源所发出的球面波；称为斜射因子（n为波矢），它保证子波朝前传播； 为n与P(x,y)处法线的夹角。,46,求解方程,1、方形反射镜Es(x,y)和Es(x,y)可用分离变量法分解为两个单元函数的积分方程，即,47,实际的激光谐振腔满足条件 da ，这时，0，cos 1。反射镜曲率半径为R，由简单的的几何分析得知：对于共焦
8、腔，d=R，并略去高阶小量得：,48,于是,1,d,49,作变量代换：相应地，方程就变为,50,把两个变量分离，即得 和叫做积分方程的核，xm, xn叫积分方程的本征值，和叫做积分方程的本征函数。对于实际的激光器C 40，在傍轴近似条件下可以认为C。 则方程的解为,51,为高斯函数， 称为厄密多项式（Hermitian），即本征函数为厄密-高斯函数： m=0,1,2,3具体函数形式为：,52,横模,53,Transverse modes 横模,54,55,Higher-order Gaussian modes,56,Fundamental modes TEM00,Radial distribu
9、tion of a TEM00 mode,57,振幅 光强 振幅下降到腔轴处的1/e, 光强下降至腔轴处的1/e2.我们把这个距离定义为镜面上的光斑半径ws,58,圆形镜共焦腔,d,59,方程的解,60,61,62,二、一般稳定腔的光学参数,利用高斯光束的传播规律，可以计算任意稳定谐振腔的光束参数。 高斯光束是腔内场的分布形式，它应满足腔内来回振荡一个周期而自再现。q1=q5,63,利用ABCD定理及自再现条件q1=q5 ，得到自洽方程,64,腔内一次往返的矩阵,65,将ABCD矩阵元代入，可分别得到镜面1和镜面2上的光斑尺寸和波前曲率半径,66,束腰的位置和尺寸,利用移动参考面(l 表示参考
10、面到腔镜1的距离）,67,68,束腰处z=0, R0， 实部,69,70,举例， 平凹腔,从结果可以看出，20, 即束腰在平面镜表面。,71,72,薄透镜的聚焦,73,实部与实部相等，虚部与虚部相等，则 其中解方程可得：,74,讨论：（1）l1f， 随l1的减小， 20也减小，当l10时， 当,75,（）l1f，随着l1的增加，w20将减少；亦即为了使w20有较小值，l1必须足够大。在l1f时，当l1时，其中w(l1)为透镜上的光斑大小，表示为这说明在透镜表面的光斑越大，聚焦越小。（3）l1=f，这时w20达极大，则,76,高斯光束的准直,为了改善光束的发散角，常将激光器和望远镜联合使用,77
11、,发散角的压缩比 光束发散角压缩比不仅与望远镜结构（M）有关，且与高斯光束的结构参数（10,l1）也有关。,78,模匹配,在另一些场合，比如说考察激光束频率特性，就需把激光束注入到球面F-P干涉仪中；在光通信中，要求将激光束馈送到光导纤维中去等待，这都是将高斯光束从一个腔体耦合到另一个腔体的问题。通常，当一定模式的高斯光束从一系统注入到另一系统时，这两个系统的模式参数必须互相匹配 ，否则，可能导致模式的破坏。通过薄透镜来实现高斯光束的变换是其中最简单的方法。,79,模匹配即在两腔体间，通过某些光学元件的变换，使两个腔体的高斯光束互为物象共扼光束，使两个腔体所决定的高斯光束的光学参数完全一样。模
12、匹配问题实质上仍是一个薄透镜变换问题。,80,为了实现模匹配，已知两个腔体的腰部尺寸10和20，计算所需透镜的焦距 f 和透镜离两腰部的距离 l1 和l2。薄透镜公式可以有 其中,81,3.5 谐振频率和纵模,光束在谐振腔内往复传播达到稳定分布，不但在横截面上构成一定横模分布，而且在腔轴方向也构成一定的纵模分布。这种轴向分布，实际上是两个相向而行的行波叠加而形成的驻波。由于光波波长甚短，因而驻波波节的数目极大，由波节数目决定了光波的谐振频率，因此讨论纵模问题，也就是讨论谐振频率问题。,82,任意谐振腔的谐振频率,TEMmn的表达式 其中相角为 两镜面间总的位相变化应为的整数倍，考察在腔轴上r=
13、0，即有关系 这里 q为任意正整数，z1,z2为两镜面位置。,83,谐振频率,84,谐振频率主要由纵模序数决定，横模序数也有影响。平行平面腔 g1=g2=1, 共焦腔 g1=g2=0, 共心腔 g1=g2= -1, 对同一横模的相邻纵模，如TEMm,n,q和TEMm,n,q+1，其频率差即模距为对同一纵模的相邻横模，如TEMm,n,q和TEMm,n+1,q（TEMm+1,n,q）之间的模距为,85,模式简并,不同模式具有相同频率的现象称为模式简并。具有相同频率的条件为 则模式简并的条件 模式简并对输出功率不利。,86,激光频谱分析,实验上常用扫描仪观察激光振荡的纵模及纵模间隔。,87,纵模选择
14、,短腔法复合腔F-P标准具法 其中,88,衍射损耗,两镜面的场分布具有相同的规律并满足 其中 腔内单程衍射损耗为,89,横模选择,倾斜反射法 减少光腔的菲涅耳数N 小孔光阑法 谐振腔参数g、N选择法 非稳定腔选模 高斯反射率镜,90,模体积和调整精度,模体积 基模模体积 对高阶模（m,n）,模体积,91,多镜腔,折叠腔 特点 1、可以在增加有效腔长而不增加腔的几何长度。 2、在腔内可以加光学元件和其他装置。处理方法 光束矩阵和ABCD定理,92,实际的折叠腔,93,环形腔,94,3.9非稳定腔,满足非稳定腔条件g1g21的腔体为非稳定腔相应于g1g21 的情况称为正支谐振腔; g1g20 相应
15、的情况称为负支谐振腔,95,缺点：非稳腔损耗大。优点：1、模体积大2、抑制高阶模的能力强 3、单模输出，发散角小，可获得接近衍射极限 的高质量单模输出4、光束易于控制,96,不稳定腔的几何描述,非稳定腔共轭像点及波型,97,发出的球面波经反射并成像于按几何光学成像关系可的 或而新的源与其像点的成像关系为 或,98,解方程可得 一旦腔结构g1,g2确定，非稳定腔共轭像点位置r1, r2也就唯一确定了。,99,能量损耗衍射耦合输出,能量损耗 腔内光场一次往返留在腔内的分量 其中,100,一次往返腔的能量损耗率 可见，非稳腔的损耗与镜面尺寸无关，这是因为一个镜面的减少，跟着减少了它所截取和反射的波的张角，因而功率损耗比将保持不变如果激光器的单程增益为G，则激光振荡条件也可写作：,101,非稳腔模式,非稳定腔具有很好的模式，容易实现单模输出由于它是通过反射镜的边缘输出，和稳定腔的均匀输出光束不同，在腔内、腔外场强分布不是高斯光束一般说，光强分布与腔结构有关，且近场同远场的光斑不同 当 足够大时， ，这时有,
