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1、课件邮箱：,密码：2014fengxiaoli,数值求解过程：,1区域剖分,2微分方程的离散,3初始和边界条件处理4离散系统的性态研究 （误差分析）,有限差分法,第章有限差分方法的基本概念,有限差分方法优点：1、概念清晰；2、方法简单，直观；3、系数矩阵有很好的结构和性质。,有限差分法步骤：,Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的集合;Step2.将待求的偏微分方程定解问题转化为一组相 应的差分方程组;Step3.根据差分方程组解出各离散点处的待求函数 值离散解,1有限差分格式,(1.1), u a u 0, tx,x R,t 0 x R,u(x, 0) f (x),以最简单一维对流方程
2、为例，引入用差分 方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求 解过程和原理考虑对流方程的初值问题,t tn n x x j jh,n 0,1, 2,-,j 0, 1, 2,-,网格剖分可以采用两组平行于x轴和t轴 的直线形成的网覆盖区域D，它们的交点称,为网格点（节点）,节点(x j , tn )记为( j, n).,间距h 0称为空间步长，间距 0称为时间步长,1 网格剖分(区域的离散化）,x,t,0,n ),(xj , t,f (n)(x),Rn (x),0(x n!, x0 ),n ,设 f (x) 在 x0 的某个邻域 U (x0 , )内具有直 到n 1阶的导数，则 x U (x0 ,
3、 ) 有f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) - ,R (x)是余项，且R (x) o(x x)n )(x x)nn00,2 用Taylor级数展开方法建立差分格式,(1.2),(1.3),(1.4),jn,jn,jn,h,h, ), (,jn1jn,u(x , t) u(x , t),u(x , t) O(,t,x,x,设u是方程(1.1)的解，对于任何节点( j, n)，u的微商 与差商之间的关系式,向前差商）,u(xj 1, tn ) u(xj , tn ) u(x , t) O(h), (向前差商）,u(xj , tn ) u(xj 1, tn ) u(x , t)
4、 O(h), (向后差商）,jn,2h,x,u(xj 1, tn ) u(xj 1, tn ) u(x , t) O(h2 ), (中心差商） (1.5),(1.6),jnjn, u(x, t) au(x, t) 0,tx,由于u是方程(1.1)的解，所以满足,(1.7),h, O( h),因此从(1.2)和(1.3)得到u(xj , tn1) u(xj , tn ) a u(xj 1, tn ) u(xj , tn ),(1.8),jj,j,h,j 1,un1 unun,un, a 0,为了保证逼近精度要求，实际取步长h与 是较 小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都 趋向于零这样可以
5、用方程,n,jj,u,n1,nj 1, u a(u,un ),j 0, 1, 2,-,jn 0,1, 2,-, (1.9),近似代替，其中un表示u(x, t)的近似值jjn将(1.8)改写成便于计算的形式,这里 / h称为网格比,(1.10),jj,j,j,j,h,j 1,un1 unun,un, a 0,u0 f,(1.8)和(1.9)称为方程(1.1)的（有限）差分方程,问题(1.1)中的初始条件的离散形式是u0 ff (x),j 0, 1, 2,-,jjj,初值问题(1.1)的差分格式,(显式右偏格式） (1.11),n+1,n,j,j+1,x,t,n=3n=2,n=1,n=0,j=0
6、,1,2,3,4,5,显格式：计算,时不用n+1层还未计算出的节点,两层格式：计算n+1层时只用到n层数据，前后仅涉及 到两个时间层,j,u,n1,(1.12),(1.13),jj,j,j,jj,j,h,2hj,un1 un,un un,a,jj 1 0,u0 f,un1 unun,un,a,j 1j 1 0,u0 f,对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式 在(1.1)中u对t采用向前差商，u对x采用向后差商和中心,差商得,(左偏格式）,（中心格式）,(1.14),u 2u, t,a x2 ,x R,t 0,x R, u(x, 0) f (x),考虑扩散方程的初值问题,(1.15),j
7、j,j,j,h2,j 1,un1 unun,2un un,a,jj 1 0,u0 f,j 0, 1, 2,-,差分格式：,3 积分方法,22,jj,n,n1,D (x, t) | x h x x h , t t t,选定积分区域,o,x,j-1,j,j+1,tn+1n,n,DD,j2j2,h2,nj,x j h,x j 2,u2u,2 u(t , x) u(t, x)dxhnn, an1 u (t, x) u (t, x)dtthh,xx,u,u, a(t, x,x,x,t,对(1.14)积分有： t dxdt a x2 dxdt,应用数值积分可得：u(tn , xj ) u(tn , xj
8、)h,nj2,h,) (t, x),j,nj2,x j,nj2,x,j1,nnj 1,nnjnj 1,x j1 u (t, x)dx u(t, x,) u(tn , x j ),x,x,u (t, x h )h ,u (t, x)dx u(t, x) u(t, x),xx,u(tn , x j ) u(tn , xj )h2 au(tn , x j 1) 2u(tn , x j ) u(tn , x j 1),x, u (t, x h )h ,j,j,h2,j 1,j 1,un1 unun,2un un, a,即： j,积分方法也称为有限体积法,有限体积法（Finite Volume Meth
9、od） 又称有限容积法、控制体积法基本思路：将计算区域划分为一系列不重复的控 制体积，并使每个网格点周围有一个控 制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积 积分，便得出一组离散方程。,4 隐式差分格式,(1.16),u 2u,0 x ,l,t 0,a x2, t,考虑扩散方程的初边值问题,(1.17),jj,jj,h2,j 1,un un1un,2un un,a,jj 1 0,u0 f,un 0, un 0,0J,j 0,., J ,n 0,u(x, 0) f (x)0 x lu(0, t) u(l, t) 0t 0差分格式：,有限差分格式在新时间层上包含有多于一个 节点，这种有限差分格式称为
10、隐式格式适用 于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条 件的初值问题,0,(1.18),n,j,j,j,j,n,n,J,u,nj 1,j 1,au, (1 2a,)u a,u,u 0, u 0,0,写成下列等价形式：,n un1，,f ，,j 0,., J ,n 0，,1,T,n,n2,f, f,., f,n10,nJ 1,a,A , a , a1 2aa,n,1 2a ,AU U,U,.,1 2a a1 2a.,a.,.,.,.,.,.,.,12,n,nn,n,J 1,令 Uu, u,., u,T ，则上式可写为：,严格对角占优，对称三对角阵；可 用追赶法求解；,显格式计算简单、快捷，但稳定
11、性一般比隐格式差；隐格式求解线性方程组，计算复杂、工作量大，但隐格 式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长,2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性,1、差分格式能否任意逼近微分方程相容性2、差分方程的精确解能否任意逼近微 分方程的解收敛性3、差分格式的计算过程是逐层推进的 ，前面各层误差的影响是否会导 致差分格式的精确解的面貌完全 被掩盖稳定性4、差分格式解的存在性、唯一性,hjh,L un 0,对于齐次问题，可以将微分方程和差分方程记为,Lu 0，,其中L是微分算子,其中L 是相应的差分算子,1 截断误差,jj,j,h,j 1,tx,un1 unun,un,a,方程(1.1)微分算子L为Lu
12、 u a u,格式(1.8)相应差分算子L 为L un hhj,(2.1),设u是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子L 和Lh分别作用于u(x j , tn )，记两者的差为(x j , tn )，即,h, u(xj , tn1) u(xj , tn ) a u(xj 1, tn ) u(xj , tn ),( u(xj , tn ) a u(xj , tn )tx O( h),(x j , tn ) Lhu(x j , tn ) Lu(xj , tn )称(x j , tn )为截断误差 讨论格式(1.8)的截断误差即(x j , tn ) Lhu(x j , tn ) Lu(xj ,
13、tn ),我们也用“精度”一词说明截断误差一般，如果一个差分格式的截断误差 O( q hp )， 就说差分格式对时间t( )是q阶精度的，,对空间x(h)是p阶精度的特别，当p q时，说差分格式是p阶精度的差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t( )一阶精度， 对x(h)二阶精度而差分格式(1.11)是一阶精度格式,22,2,2,t,x,x, x,tv x, t v x, t t v x, t ,v x, t v x x, t v x, t ,tv x, t v x, t v x, t t ,v x, t v x, t v x x, t , v x, t v x, t 1 t
14、 v x, t 1 t ,v x, t v x 1 x, t v x 1 x, t ,定义差分：,一阶向前差分,一阶向后差分,一阶中心差分,2,2,2,x,vx, t, vx, t,x x, v x 1 x, t v x 1 x, t ,x ,类似可定义高阶差分，如：,2,2,ox,x x,v x, t 1 (,)v x, t , 1 v x x, t v x x, t , v x x, t 2v x, t v x x, t 两个区间上的中心差分：,2,tu x, t u x, t u x, t , u x, t 1 u 2 1 u323t2 t 2x, t6 t3 x, t .,级数形式,u
15、1 2u= t x, t 2 t 2 x, ,余项形式，在t和t+ 之间,2,4,2,2,4,x, u,1 u,ux, t,x, th,x212 x4, 2u 214u4x, th , t h,x212 x4,x, th .级数形式,余项形式，在x和x+x之间 ,jj,j,un,h2,j 1,j 1,un1 un,2un un,a, 0,以扩散方程为例，差分格式：,2,2,2,2,3,4,2,4,or,x,a,h2,ux, t,1,x, t,t,ux, t, 1 2u,1 3u,a4u,x, t , . ,x, th .,2 t,6 t,12 x,a4u,x, ,2 t,12 x,差分算子,
16、u 2utx, t a x2 x, t 微分算子, , th, 1 2u,2 ,级数形式余项格式,2,2,2,h,x,Tx, t,a,h2,1,t, L u Lu,ux, t,ux, t 0,1 2u,a4u, ,h .,2 t 212 x4,1 2ua4u,T x, t x, , t h2 t 212 x4, O O h2 ,截断误差：,截断误差的主项（主部）：,截断误差T (xj , tn )是在(x j , tn )点上差分方程 近似微分方程的误差 , h越小，误差越小求差分格式的截断误差: 将相应问题的充分光滑解代入差分格式，再进行Taylor级数展开,2,2,24,x,h2,u(x,
17、 t),11,( , t),t,T (x, t) ,u(x, t) a, u,ah u, ,(x,) ,2 t 212t 4,对扩散方程隐格式，有：,jj,j,jj,j,h2,u,2,j 1,j 1,n1,n1,nj 1,j 1,un1 un1un,2un un,a, 0, u 2a(u,2un un ),对于扩散方程，还可以建立差分格式：,称作Richardson格式，或写为：,j-1jj+1,n+1,n,n-1,截断误差为：T (x, t) O( 2 ) O(h2 ),三层格式：计算第n+1层用到n,n-1层节点多层格式：多于两层的差分格式,j,mn,j,u,j 1,nj m,Pun un
18、,Pu,定义空间平移算子：P : , 相容性,kn,u,n1n,k l, L u,jhjkjk,差分格式写成算子形式：l,aP u, a 是依赖于, , h的系数,若当h, 0时，T xj , tn 0，则称差分格式与 定解问题是相容的,n,j,jn,n,n,j,jn,j,ux, t, u 0,0时，差分格式的解u ux, t，,即e,收敛性：当h, , 收敛性,n,j,这里ux, t是微分方程之解，,u 是差分格式之真解，,（真解指在求解差分格式过程中，忽略了各种误差， 如舍入误差，也就是说求解差分格式的过程是严格 精确的）,0,j,j,n j,n,n,n,j,j,j,m,n,m,j,un,
19、h,oru,j 1,n1,nm,j nm,m0,un1 un jj,un,a,1 a, a Pu,u 1 a, a P,u 1 a, a Pf,af,n C1 a,Ex1:对流方程：ut aux 0,a 0,考虑差分格式：, 0, = /h,可见，上述差分格式计算un时要用到初始条件在点集,x j , x j 1,., x j n上的值,t,x,特征线,(xj ,tn ),xj atn xj,xjn,n,jnj,改变初始条件 f x在xj atn上的值，必然改变微分方程,之解在 x, t上的值而对上述差分格式来讲，,u依赖于,x j , x j 1,., x j n，x j atn不在此集合因
20、此差分格式之解不能 收敛到微分方程之解，即差分格式不收敛，因此，当a 0时，不能用此格式,如图，对流方程在点xj , tn 的解的依赖区域 是x轴上的一个点x j atn,x 2,12,2,ut auxx 0,x R,t 0,u x, 0 f x, x R,G x ,2 exp ,2,Ex2:扩散方程初值问题：,解析解：u t, x RG 2at x y f y dy G 2at u0 x,j,j,n j,un,u,j 1,j 1,n1,h2nj 1,j 1,un1 un jj,2un un,a, 0,1 2a,au,un,差分格式：,改写成：u,（1）,n,j,j,jn,h2,u,u,n1,
21、jn1,nj 1,j 1n,nj 1,u xj , tn1 u xj , tn ,T xj , tn ,u xj 1, tn 2u xj , tn u xj 1, tn ,a,ux, t,1 2a,u ux, t,a,u x, t,u,截断误差：,改写成：u xj , t n1 1 2a u xj , t n a u xj 1, t n u xj 1, t n T xj , t n （2）（1）（2），得：,j 1n,jn, u x, tT x, t,2,n,jj,jn,j,n j,jn,nj,j,j,n,n,n,e,n1,nj 1,j 1,en1,nj 1,nj 1,1 2a,e ae, e
22、n T x, t,1 2a,a e,a e, T x, t,1 2a,E a, E a, E M h, En M h2,T xj , t n1 O O h2,即：e,若1 2a 0，即2a 1，有,而 T xj , t n M h2,令E sup en,则有：en1,2,0,n0,0j,jjj,j0j,j,n,nj,jn,ux, t,h,E: u,ux, 0fx,f,e0 0, E sup e0 0,从而En1 En M h2,递推得E E nM,从而有En nM h2假定初边值问题中t T，则n T，从而 En TM h2,令 , h 0,，则有E,0，即u,结论：当2a 1时，差分格式收敛
23、 相容不一定收敛，收敛性是个难题,j,j lj l 1j l,利用差分格式计算时是按时间逐层推进的,例如二层格式，计算n 1层上的值un1时，要用到,第n层上计算出来的结果un , un,., un 而计算,时的舍入误差（n 0时是初始数据不精确）必然 会影响到n 1层上的值，因此需要分析这种误差 的传播情况希望误差的影响不会越来越大，以 致掩盖差分格式解的面貌，此即稳定性问题,4稳定性,j,j,n j,u,n1n,nj 1, u au,u,Ex1:考虑对流方程ut aux 0,a 0的差分格式,的稳定性,仅考虑初始误差的传播情况，不考虑逐层计算 过程中的舍入误差，设初始误差绝对值为，符号交替
24、取 ,，差分格式的解在x j , t n 处的误差为：,n j,当n 时，, （a 0,固定，,）不稳定；,a 0时，若1 2a 1，即 a 1，则稳定,n,m,n j,m n,n,m,m,n,m n,C,nm,j nm,m0,nm,j nm,j nm,m0,nm,m0,1 a,ag,C,1 a,a 1nm ,1 a,a 1 2a,jnmn,n C,u,1, x 0.5,数值实例：a 1，g(x) 0, x 0.5时的结果,1.0 1.11.21.31.41.5,0.81,0.5,t,差分解,x,精确解,1, 1, x 2 0.81 1.31,0, x 1.31,精确解u x, t g x t
25、 ， 取h 0.1, 0.9,即 0.09 n 9, t n 9 0.09 0.81u x, t g x 0.81,2,u x, t ,0, x 1.4, 1.0,即 0.1,t n 0.91, x 1 0.9 1.4,x,1.4,0.9,0.5,t,精确解,x,1.5,0.99,0.5,t,u x, t ,0, x 1.49, 1.1,即 0.11,t n 0.991, x 1.49,振荡!,分析和数值实例说明，稳定性不仅与差分格式 本身有关，还与网格比有关下面主要考虑初值问题（包括可进行周期延拓 的初值问题）的差分格式的稳定性，即考虑初值误 差的传播,jhj,差分格式统一写成：un1 L
26、un,Lh是依赖于 , h的线性差分算子，对变系数PDE，Lh还 依赖于x j , t n，这里仅考虑只依赖x j而不依赖t n的情况,2,n,n j,n j,h,un,u,1 2, j ,递推下去，有：un Lnu0 jhj为度量误差及其他应用，引入范数,h，uu,0,0,n,n,jhjjj,j,j, n,n1n, K 0hh,对差分格式u, L u ，设,u 有误差, ，引起,u 的误差,，,若K 0, s.t.当 0,n T时，一致地有：,即n步误差可由初始误差来控制,则称差分格式关于 初值稳定,h,Ln,un, K, Ku0hh,对线性差分格式，稳定条件有两个等价形式： 1.K 0,
27、s.t.当 0,n T时，一致地有：,2.K 0, s.t.当 0,n T时，一致地有：, K 0,对非线性差分格式，只能用 n,5 Lax等价定理（Lax，1953，收敛性与稳定性的关系）,Th2.1：对适定的线性初值问题，若差分格式相容， 则差分格式的稳定性是收敛性的充要条件（1）证明收敛性往往困难，而判别稳定性较易， 有许多方法和准则利用Lax 等价定理 ，收敛性 的判别就转化为稳定性的判别（2）定理使用的条件：初值问题（包括周期性边界 条件的初边值问题）；初值问题适定；初值问题线 性，对非线性问题可能不成立,1,vxe,dx,i x,2,ved,12,i x,v ,vx,FT,IFT,
28、3研究有限差分格式稳定性的Fourier方法1 Fourier变换设v x L2 R,2,2,v x,ve,dd,1 2,v d,i x,dx ,则：vx,Fourier积分公式性质：Parseral等式,即在平方积分的范数意义下，Fourier变换 保持了度量,u a u 0, tx,x R, t 0,x R,u(x, 0) g(x),对流方程的初值问题,2 Fourier方法,0,),n,n,jj,j,j,u,n1,nj 1, u a,(u u,u g j g(xj ),以差分格式（1.12）为例进行讨论,22,2,n,nj,jj,j,jj,Ux, t, u,x h x x h,(x) g
29、 x,x h x x h,扩充这些函数的定义域使其在整个实轴上有定义,n,nn,U x, t,n1, U (x, t) a,U (x, t) U (x2 h, t),对任意x R,(x, t) (xj , tn ),上式是有意义的由此得出:U (k, tn1) 1 a(1 e)U (k, tn )ikh,U (k, tn1 ) G( , k )U (k, tn ),G , k 称为增长因子G , k 1 a (1 e ikh ),h可以通过 和来表示G( , k)与n无关U (k, tn ) G( , k) U (k, t0 )n,2,2,2,2,0,n,n,U,U,k, tdk,k, tdk
30、 K,Ui, t,2 K 2 U i, t K 20,U i, t0 2, U i, tn K22,U i, t0 2,设增长因子G , k 的任意次幂是一致有界,界为K，即|G( , k)n| K由Parseval等式有,常系数的差分格式（1.12）是稳定的.,如果是常系数稳定,h,un,G( , k )n, K稳定, Ku0h,G( , k )n K,常系数差分格式稳定的充分必要条件: 存在常数 0 0, K 0, 使得 0n T , k R时, 有 G( , k )n K .,T,p,12pii,设 x, y R2 , y可以是时间变量t,向量函数u u , u,-, u, R ，其中u
31、 ux, y, i 1,-, p,已知连续向量函数h x, y, u R p，矩阵函数A x, y, u Rp p,3 一阶方程组,3.1,方程组u A x, y, u u h x, y, u 0yx称为一阶拟线性方程组，头两项是主部,若A与u无关，即A A x, y ，且h x, y, u B x, y u q x, y ,其中B Rp p , q R p，则称3.1是线性方程组若A、B、q是常数矩阵，常数向量，即与x、y无关， 则称（3.1）是常系数方程组分类：椭圆型：对固定的 x, y, u , A x, y, u x, y 无实特征向量，,双曲型：A有p个线性无关的实特征向量，,此时A
32、有p个实特征值（重特征值重复计数）,严格双曲型：A有p个互异的实特征值,x 1 s, y 2 s,特征：若x y平面上的曲线,满足,1 s 1 s ,2 s , u 1 s ,2 s 2 s 0 特征方程则称为方程组的特征曲线，其中是 A x, y, u x, y 在曲线上的特征值,12,T,w , w,v, w ,x,1w, y,w 0,1,w,w,y,0 x, 2 1,x, y,A 0,10 ,Ex 1：在Cauchy Riamann方程组中，,令w1 u, w2 w1 w2,，方程组可写成,即,1无实特征向量，方程组是椭圆型的。,a 0,dttxdttx,Ex 2：一维对流方程 u a
33、u 0tx,双曲型的,特征方程：dx adt 0,实特征线： x at ,是常数,沿某条特征线x at ，方程解为u x, t u at , t ,则有 du u u dx u a u 0，即沿特征线，u 常数,稳定性概念及相关的Fourier方法的推导都可以 推广到线性常系数差分方程组,c2,u,0 0, t0 xu, 0, t0 x,u和分别表示质点速度和密度，初值u x, 0 v x, x, 0 x,0,0,0,),jj,j,n j,j,j,n j,c2,un,c2,002h,2h,2h ,2h,n1,nj 1,nj 1,n1,n0j 1,j 1,un1 un, n,nj 1j 1 0,
34、 ,un, ,j 1j 1 0,un1 un ,( ,j, ,(u un ),建立差分方程组,改写为,0,0,0,0,0,0,0,T,jjj,n,j,j,2h,nj,n1 j,nj 1,nj 1,n1,0,c2 ,0,c2 ,0 ,0 ,0,c2 ,0 , 2h, 1,u,2h u 2h0,u,2h u,u,ATu,令un un, n，,采用平移算子T, 上式也可以写成1,其中A1 ,2h 0 ，A0 I，A1 A1,j,jjj,j,j,n,jjj,nnp,n1,p p, l, l,n1,(x, ) R,C(x, ) ,u,A,x,Tu, u R, A,A,一般的差分方程组可以写成l,由于h
35、g( ),即h和 满足一定关系，所以在A (x, )中仅标出令l,x,T ，,则u, C(x, )u ,（3.2）,C(xj , )称为差分算子,j,jjjj,un C( x, )n u0如果C( x, )不依赖x ，则为,常系数差分方程组，则可利用Fourier积分得到：U (k, t) G( , k )U (k, t),n1nU (k, tn ) G( , k )U (k, t)，n0,U (k, t) Rp ,G( , k ) Rp p，,nG , k 为增长矩阵差分格式(3.2)稳定的充分必要条件是存在常数 0，K使得当 0 , n T 及所有k R有,G , k n K,j (G ,
36、 k ) 1 M , j 1, 2,-, p,定理3.1：差分格式（3.2）稳定的必要条件是 当 0 , n T，对所有k R有,4 判别准则,G , k n, K , 0 , n T , k R, j (G , k )表示G( , k)的特征值，M 为常数证明：由差分格式稳定可以得出,1n,T, G , k n G , k n G , k n, G , k n K, K, 0 n , G , k K T , 0 0,表示矩阵谱半径，利用谱半径与范数的关系,设K 1，则有G , k,对于0 0中的 ,K T ,以形如1 k1的一个线性,表达式为界K T 1k1 ,由谱半径的定义可得 j G ,
37、 k 1 M条件(3.3)被称为von Neumann条件von Neumann条件是稳定性的必要条件,2h,j 1,tx,un1 unun jj,un,a,例3.1讨论逼近对流方程 u a u 0,的显式格式,j 1 0的稳定性.,1,2,2,j,n j,n,n,j,j,a2,h,h,u,n,nj 1,j 1, u,un,x x, x,j,2 ,un1 x un x a un x h un x h , x R,解：变形为u,时，u,x u ，这样就有,2,U n1 k U n k a eikh eikh U n k .,2 1 ai sin khG , k 2 1 a2 2 sin2 kh.
38、,对上式两边做Fourier变换，有,可得增长因子G , k 1 a (eikh eikh ),当sin kh 0时，不管怎样选择网格比，总有G , k 1所以差分格式是不稳定的,2,2,2,nnikjh,j,j,j,n,ikh,ikjh,ikh,n,a2,u,e,u,a,a,n1n,nj 1j 1,n1ikjh,ikh,n1,ikh, u,un,1,e e,1,e e,G , k 1 a (eih eih ),实际上只要取u e，代入相应的差分方程，,有e ,再把公因式eikjh消去，可以得到,得到增长因子(或增长矩阵),nn设复数矩阵A aij C，,AH a Cnn A的共轭转置ij若A
39、H A I，称A为酉矩阵；若A AH，称A为Hermite矩阵；（实对称矩阵必是Hermite阵）若AAH AH A，称A为正规矩阵；（所有对角阵，Hermite阵，酉阵都是正规阵）,2,对于正规矩阵A有 A A，即A的2 范数等于其谱半径,n,n,n,n,n ln(1,G , k, M ),G , k,G , k,1 M e,定理3.2如果差分格式的增长矩阵G , k 是正规矩阵， von Neumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件 证明：只证von Neumann条件是差分格式稳定的充分条件,von Neumann条件为 j G , k 1 M，,由此得 G , k n,，,，,23
40、,( M )2,( M )3,ln(1 M ) ln1 M , -, M ( )其中 ( ) 0,1 M n en ln(1 M ) en( M ( ) enM eMT K ,所以差分格式稳定.推论1当G , k 为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件.,推论2当p 1时，即G , k 只有一个元素，则, M,von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件.定理3.3如果存在常数K， 0，使得G , k 1 K , 0 0，则差分格式是稳定的证明：G , k n G , k n 1 K n en ln(1 K ), en( K
41、 ( ) enK eKT所以差分格式稳定,12p, , ,-,定理3.4如果G , k G , k的特征值,满足 j, 1 M , j 1, 2,- p, 0 0，G , k 为,增长矩阵的差分格式是稳定的证明：G , k G , k G , k 21 M 1 M所以差分格式稳定,22,定理3.5如果对于 0 , k R，存在非奇异矩阵 S , k ，使得S 1 , k G , k S , k , k ,其中( , K )是对角阵，并存在与 , k无关的常数C满足 S , k C,S 1 , k C，则,von Neumann条件是差分格式稳定的充分条件 证明：利用定理条件，有G , k S
42、, k , k S 1 , k ,重复使用上式，有G , k n S , k , k n S 1 , k ,G , k n C 2 , k n2,l , k 1 M , l 1, 2,- p.,由von Neumann条件知,利用 , k 为对角阵，立即得 , k , k 1 M，2, C 2 1 M n C 2eMT，2,则差分格式是稳定的,1 G , k 1 M ,l G , k r 1,l 2, 3,-, p.,定理3.6如果对于0 0，一切k R，增长矩阵 G , k 的元素有界，并且,则差分格式是稳定的,定理3.7如果G , k G ，其中 kh, h ,或者h ，为网格线，并对于任
43、意给定的, R，下列条件之一成立：(1)G 有p个不同的特征值；(2)G I , 0,1,-, s 1,G s 有p个不同的特征值；(3) G 1；则Von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件,1,jj,j,n,n,j,j,j,nn,ikjh,j,h,n,nj 1,un1 un,un un,a, u a,u u,例3.2考虑对流方程的差分格式,j 1 0, a 0的稳定性,解：u,令u ,e，并将它代入上式就得到, n1eikjh neikjh a n 1 eikh eikjh n1 1 a 1 eikh n增长因子G , k 1 a(1 eikh ),G , k 1 a (1 e
44、 ikh ), 1 a (1 cos kh) a i sin khG , k 2 1 a (1 cos kh)2 a2 2 sin2 kh,kh 2,kh kh , 1 2a sin2 4a2 2 sin2 1 sin2,222, 1 4a 1 a sin2 kh .,2如果a 1则有 G , k 1，满足Neumann条件,由定理3.2的推论2知，在条件a 1之下是稳定的,1,j,j,j,nnikjh,j,h2,uu,j 1,j 1,n1,n1,n1n,j 1,j 1,u2u,tx2,un1 un jj,un1 2un1 un1,a,1 2a,a, u,1 4a sin2 kh,例3.3考虑
45、扩散方程, a, a 0的隐式格式, 0的稳定性,解： au,令u e，把它代入上面方程,消去公因子eikjh，得G , k ,，,2由于a 0，所以对任何网格比都有 G , k 1，隐式格式是稳定的,1,0,.,j,j,j,n,jj,j,jj,j,j,u,u,n,n1,nj 1,j 1,n1,nj 1,j 1,nj 1,nj 1, u,2au,2un un, v 2au,2un un, uvn1n,00,1000,un1 2a,u, 4a1 un 2a0,u,例3.4讨论逼近扩散方程的Richardson差分格式,的稳定性,解：,Tun un, vn，则上面的方程组可以写成jjj,1,2,2
46、,22,4,1,2,2,2,2,j,kh,kh,1 ,8a sin2 kh,0,1,1 ,8a sin2 kh,0,1, 4a sin,116a sin,2,n1 , n ,设un neikjh，将它代入上式并消去公因子,增长矩阵G , k ,为其特征值,12,2,22,4,1,2,1,2,.,2,所以Richardson格式是不稳定的,kh,kh, 4a sin,1 16asin,2,kh,| | 1 4a sin,条件稳定: 例3.2，,在条件a 1之下才是稳定；绝对稳定，无条件稳定：例3.3， 对任何网格比都是稳定的；绝对不稳定，无条件不稳定: 例3.1和例3.4， 对任何网格比都不稳定
47、,有限差分法,在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每 一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微 分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的 有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域 细分成由有限个格点组成的网格；2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格 点的导数；3、逼近求解。,差分格式的构造方法,最常用的方法是数值微分法，比如用差 商代替微商等。积分插值法，因为在实际问题中得出的 微分方程常常反映物理上的某种守恒原 理，一般可以通过积分形式来表示。待定系数法构造一些精度较高的差分格 式。,作业,书面作业：课本P44习题,上机作业：1、 P43变系数对流方程（4.17）利用差分格 式（4.18）数值求解，给出一个精确解的例 子；2、 P44习题4利用所给格式数值求解该扩散方 程的定解问题，并构造一个精确解的例子。,
